Sean $a,b,c,d$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}.\]

Encuentra la suma $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.$

Suponga que \[f(x)=\{\begin{array}{cc}n,& \qquad n \in \mathbb N , x= \frac 1n\ \text{} \x, & \mbox{otherwise}\end{array}\] i) ¿En qué puntos, la función tiene un límite? ii) Demuestra que no existe el límite de $f$ en el punto $x=0.$

Encuentra el valor de $S_n= \arctan \frac 12 + \arctan \frac 18+ \arctan \frac {1}{18} + \cdots + \arctan \frac {1}{2n^2}.$ También encuentra $\lim_{n \to \infty} S_n.$

El punto $M$ se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de las longitudes desde $M$ a las caras de un cubo, es fija. Encuentra el lugar geométrico de $M.$

Encuentra una matriz $A_{(2 \times 2)}$ para la cual \[ \begin{bmatrix}2 &1 \ 3 & 2\end{bmatrix} A \begin{bmatrix}3 & 2 \ 4 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 \ 2 & 1\end{bmatrix}.\]

Demuestra que el número $x = \sqrt{1 + \sqrt 2}$ es irracional.

Sean $f, g : \mathbb R \to \mathbb R$ dos funciones tales que $g\circ f : \mathbb R \to \mathbb R$ es una función inyectiva. Demuestra que $f$ también es inyectiva.

Suponga que $S= \{1,2,\dots,n\}$ y $n \geq 3$ . Existe $f:S^k \longmapsto S$ tal que si $a,b \in S^k$ y $a$ y $b$ difieren en todos los elementos entonces $f(a) \neq f(b)$ . Demuestre que $f$ es una función de uno de sus elementos.

Suponga que hay $n$ puntos distintos en el plano. Hay un círculo con radio $r$ y centro $O$ en el plano. Al menos uno de los puntos está en el círculo. Hacemos las siguientes instrucciones. En cada paso movemos $O$ al baricentro de los puntos en el círculo. Demuestre que la ubicación de $O$ es constante después de algunos pasos.