Suponga que se dan $10$ puntos en el plano, tales que entre cada cinco de ellos hay cuatro que yacen en una circunferencia. Encuentre el número mínimo de estos puntos que deben estar en una circunferencia.

Considere una semicircunferencia de centro $O$ y diámetro $AB$ . Una línea interseca a $AB$ en $M$ y a la semicircunferencia en $C$ y $D$ tal que $MC>MD$ y $MB<MA$ . Las circunferencias circunscritas a $AOC$ y $BOD$ se intersecan nuevamente en $K$ . Demuestre que $MK\perp KO$ .

Suponga que $S$ es un conjunto finito de números reales con la propiedad de que dos elementos distintos cualesquiera de $S$ forman una progresión aritmética con otro elemento en $S$ . Dé un ejemplo de tal conjunto con 5 elementos y demuestre que no existe tal conjunto con más de $5$ elementos.

Sea $n$ un entero positivo y suponga que $\phi(n)=\frac{n}{k}$ , donde $k$ es el cuadrado perfecto más grande tal que $k \mid n$ . Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sean $n$ enteros positivos tales que $a_i=p_1^{a_1i} \cdot p_2^{a_2i} \cdots p_n^{a_ni}$ , donde $p_i$ son números primos y $a_{ji}$ son enteros no negativos, $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ . Sabemos que $p_i\mid \phi(a_i)$ , y si $p_i\mid \phi(a_j)$ , entonces $p_j\mid \phi(a_i)$ . Demuestre que existen enteros $k_1,k_2,\ldots,k_m$ con $1 \leq k_1 \leq k_2 \leq \cdots \leq k_m \leq n$ tales que \[\phi(a_{k_{1}} \cdot a_{k_{2}} \cdots a_{k_{m}})=p_1 \cdot p_2 \cdots p_n.\]

Sean $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ sean $n$ números reales tales que $a_1^k +a_2^k + \cdots + a_n^k \geq 0$ para todos los enteros positivos $k$ . Suponga que $p=\max\{|a_1|,|a_2|, \ldots,|a_n|\}$ . Demuestre que $p=a_1$ , y \[(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\leq x^n-a_1^n \qquad \forall x>a_1.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Construya los puntos $P,Q,R,$ y $S$ en la continuación de $AB,BC,CD,$ y $DA$ , respectivamente, tales que \[BP=CQ=DR=AS.\] Demuestre que si $PQRS$ es un cuadrado, entonces $ABCD$ también es un cuadrado.

Encuentre todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación \[2^x + 3^y = z^2 .\]

Demuestre que no existen dos conjuntos infinitos y separados $A,B$ de puntos tales que (i) No hay tres puntos colineales en $A \cup B$ , (ii) La distancia entre cada dos puntos en $A \cup B$ es al menos $1$ , y (iii) Existe al menos un punto perteneciente al conjunto $B$ en el interior de cada triángulo cuyos vértices se eligen del conjunto $A$ , y existe al menos un punto perteneciente al conjunto $A$ en el interior de cada triángulo cuyos vértices se eligen del conjunto $B$ .

Encuentre todos los conjuntos de números reales $\{a_1,a_2,\ldots, _{1375}\}$ tales que \[2 \left( \sqrt{a_n - (n-1)}\right) \geq a_{n+1} - (n-1), \quad \forall n \in \{1,2,\ldots,1374\},\] y \[2 \left( \sqrt{a_{1375}-1374} \right) \geq a_1 +1.\]

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Construya el triángulo equilátero $DCE$ en el lado $DC$ y fuera del paralelogramo. Sea $P$ un punto arbitrario en el plano de $ABCD$ . Demuestre que \[PA+PB+AD \geq PE.\]