$n>1$ y enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ son dados. ¿Existe un polinomio $p(x)\in\Bbb{Z}[x]$ de grado $\le n$ que satisfaga las siguientes condiciones?\na. $\forall_{1\le i < j\le n+1}: \gcd(p(a_i),p(a_j))>1 $\nb. $\forall_{1\le i < j < k\le n+1}: \gcd(p(a_i),p(a_j),p(a_k))=1 $

Encontrar el máximo valor posible de $k$ para el cual existen reales distintos $x_1,x_2,\ldots ,x_k $ mayores que $1$ tales que para todo $1 \leq i, j \leq k$ , $$x_i^{\lfloor x_j \rfloor }= x_j^{\lfloor x_i\rfloor}.$$

Dos círculos $\omega_1(O)$ y $\omega_2$ se intersecan en $A,B$ , y $O$ se encuentra en $\omega_2$ . Sea $S$ un punto en $AB$ tal que $OS\perp AB$ . La recta $OS$ interseca a $\omega_2$ en $P$ (distinto de $O$ ) . La bisectriz de $\hat{ASP}$ interseca a $\omega_1$ en $L$ ( $A$ y $L$ están en el mismo lado de la recta $OP$ ) . Sea $K$ un punto en $\omega_2$ tal que $PS=PK$ ( $A$ y $K$ están en el mismo lado de la recta $OP$ ) . Demostrar que $SL=KL$ .

Sean $n$ puntos azules $A_i$ y $n$ puntos rojos $B_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ situados en una línea. Demuestre que \[\sum_{i,j} A_i B_j \geq \sum_{i<j} A_iA_j + \sum_{i<j} B_iB_j.\]

Sea $N$ el punto medio del lado $BC$ del triángulo $ABC$ . Se construyen triángulos isósceles rectángulos $ABM$ y $ACP$ fuera del triángulo, con bases $AB$ y $AC$ . Demuestre que $\triangle MNP$ también es un triángulo isósceles rectángulo.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos tales que $ab=cd$ . Demuestre que $a+b+c+d$ es un número compuesto.

Sean $a, b, c$ números reales. Demuestre que existe un triángulo con longitudes de lado $a, b, c$ si y solo si \[2(a^4 + b^4 + c^4) < (a^2 + b^2 + c^2)^2.\]

Encuentre todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que \[m^{3pq} \equiv m \pmod{3pq} \qquad \forall m \in \mathbb Z.\]

Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ tal que $BC>CA$ . Sea $F$ el pie de la altura $CH$ del triángulo $ABC$ . La perpendicular a la línea $OF$ en el punto $F$ interseca a la línea $AC$ en $P$ . Demuestre que $\measuredangle FHP=\measuredangle BAC$ .

Determine todas las funciones $f : \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb N_0 - \{1\}$ tales que \[f(n + 1) + f(n + 3) = f(n + 5)f(n + 7) - 1375, \qquad \forall n \in \mathbb N.\]