Los números reales $x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n$ satisfacen $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ . Demuestre que \[ \frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+\frac{x_n}{1+ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{\frac n2} . \]

Sea $P$ un punto que se encuentra fuera del círculo $O$ . Una línea pasa por $P$ y se encuentra con el círculo en $A$ y $B$ , y otra línea pasa por $P$ y se encuentra con el círculo en $C$ y $D$ . El punto $A$ está entre $P$ y $B$ , $C$ está entre $P$ y $D$ . Sea la intersección del segmento $AD$ y $BC$ sea $L$ y construya $E$ en el rayo $(PA$ de modo que $BL \cdot PE = DL \cdot PD$ . Demuestre que $M$ es el punto medio del segmento $DE$ , donde $M$ es la intersección de las líneas $PL$ y $DE$ .

Encuentre todas las $f: \mathbb R \to\mathbb R$ tales que para todos los números reales $x$ , $f(x) \geq 0$ y para todos los números reales $x$ e $y$ , \[ f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0. \]

Para un entero positivo $K$ , defina una secuencia, ${a_n}_n$ , como sigue $a_1=K$ , \[ a_{n+1} = \{ \begin{array} {cc} a_n-1 , & \mbox{ si } a_n \mbox{ es par} \\ \frac{a_n-1}2 , & \mbox{ si } a_n \mbox{ es impar} \end{array}, \] para todo $n\geq 1$ . Encuentre el valor más pequeño de $K$ , que hace que $a_{2005}$ sea el primer término igual a 0.

Para el triángulo $ABC$ , $P$ y $Q$ satisfacen $\angle BPA + \angle AQC=90^{\circ}$ . Se proporciona que los vértices de los triángulos $BAP$ y $ACQ$ están ordenados en sentido antihorario (o horario). Sea la intersección de las circunferencias circunscritas de los dos triángulos $N$ ( $A \neq N$ , sin embargo si $A$ es la única intersección $A=N$ ) , y el punto medio del segmento $BC$ sea $M$ . Demuestre que la longitud de $MN$ no depende de $P$ y $Q$ .

Para dos enteros positivos $a$ y $b$, que son relativamente primos, encuentre todos los enteros que pueden ser el máximo común divisor de $a+b$ y $\frac{a^{2005}+b^{2005}}{a+b}$.

Sean $a_1, a_2, ..., a_{1999}$ números reales no negativos que satisfacen las siguientes condiciones: \na. $a_1+a_2+...+a_{1999}=2$ \nb. $a_1a_2+a_2a_3+...+a_{1999}a_1=1$ . \nSea $S=a_1^ 2+a_2 ^ 2+...+a_{1999}^2$ . Encuentra los valores máximo y mínimo de $S$ .

Una permutación $a_1,a_2,\cdots ,a_6$ de los números $1,2,\cdots ,6$ se puede transformar en $1,2,\cdots,6$ transponiendo dos números exactamente cuatro veces. Encuentra el número de tales permutaciones.

Si la ecuación: $f(\frac{x-3}{x+1}) + f(\frac{3+x}{1-x}) = x$ se cumple para todo x real excepto $\pm 1$ , encuentra $f(x)$ .

Encuentra todos los enteros n tales que $2^n - 1$ es múltiplo de 3 y $(2^n - 1)/3$ es un divisor de $4m^2 + 1$ para algún entero m.