Si todos los $x_k$ ( $k = 1, 2, 3, 4, 5)$ son reales positivos, y $\{a_1,a_2, a_3, a_4, a_5\} = \{1, 2,3 , 4, 5\}$ , encontrar el máximo de $$\frac{(\sqrt{s_1x_1} +\sqrt{s_2x_2}+\sqrt{s_3x_3}+\sqrt{s_4x_4}+\sqrt{s_5x_5})^2}{a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5}$$ ( $s_k = a_1 + a_2 +... + a_k$ )

$p > 3$ es un número primo tal que $p|2^{p-1} - 1$ y $p \nmid 2^x - 1$ para $x = 1, 2,...,p-2$ . Sea $p = 2k + 3$ . Ahora definimos la secuencia $\{a_n\}$ como $$a_i = a_{i+k} = 2^i \, \, (1 \le i \le k ), \,\,\,\, a_{j+2k} = a_ja_{j+k} \, \, (j \le 1)$$ Demostrar que existen $2k$ términos consecutivos de la secuencia $a_{x+1},a_{x+2},..., a_{x+2k}$ tal que $a_{x+i } \not\equiv a_{x+j}$ (mod $p$ ) para todo $1 \le i < j \le 2k$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $O$ ( $AB> AD$ ) , y sea $E$ un punto en el segmento $AB$ tal que $AE = AD$ . Sea $AC \cap DE = F$ , y $DE \cap O = K(\ne D)$ . La tangente al círculo que pasa por $C,F,E$ en $E$ interseca a $AK$ en $L$ . Demostrar que $AL = AD$ si y sólo si $\angle KCE = \angle ALE$ .

Hay $n$ estudiantes $A_1,A_2,...,A_n$ y algunos de ellos se dieron la mano entre sí. ( $A_i$ y $A-j$ pueden darse la mano más de una vez.) Sea el estudiante $A_i$ que dio la mano $d_i$ veces. Suponga que $d_1 + d_2 +... + d_n > 0$ . Demostrar que existen $1 \le i < j \le n$ que satisfacen las siguientes condiciones: (a) Dos estudiantes $A_i$ y $A_j$ se dieron la mano entre sí. (b) $\frac{(d_1 + d_2 +... + d_n)^2}{n^2}\le d_id_j$

Encontrar todos los $l,m,n \in\mathbb{N}$ que satisfacen la ecuación $5^l43^m+1=n^3$

Un pentágono $ABCDE$ está inscrito en un círculo $O$ , y satisface $\angle A = 90^o, AB = CD$ . Sea $F$ un punto en el segmento $AE$ . Sea $BF$ interseca a $O$ de nuevo en $J(\ne B)$ , $CE \cap DJ = K$ , $BD\cap FK = L$ . Demostrar que $B,L,E,F$ son cíclicos.

Demostrar la siguiente desigualdad donde los reales positivos $a$ , $b$ , $c$ satisfacen $ab+bc+ca=1$ . \[ \t \frac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}} + \frac{b+c}{\sqrt{bc(1-bc)}} + \frac{c+a}{\sqrt{ca(1-ca)}} \le \frac{\sqrt{2}}{abc} \]

Hay $ 2010 $ personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Primero, le damos a una persona $ x $ un caramelo. Luego, le damos caramelos a la persona $1$ , la persona $1+2$ , la persona $ 1+2+3$ , $\cdots$ , y la persona $1+2+\cdots + 2009 $ en el sentido de las agujas del reloj desde $ x $ . Hallar el número de personas que obtienen al menos un caramelo.

Hay $ 2000 $ personas, y algunas de ellas se han llamado entre sí. Dos personas pueden llamarse entre sí como máximo $1$ vez. Para dos grupos de tres personas cualesquiera $ A$ y $ B $ tales que $ A \cap B = \emptyset $ , existe una persona de cada uno de $A$ y $B$ que no se han llamado entre sí. Demostrar que el número de dos personas que se llamaron entre sí es menor que $ 201000 $ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico. Sea $ E $ la intersección de las líneas $ AB, CD $ . $ P $ es la intersección de la línea que pasa por $ B $ y es perpendicular a $ AC $ , y la línea que pasa por $ C $ y es perpendicular a $ BD$. $ Q $ es la intersección de la línea que pasa por $ D $ y es perpendicular a $ AC $ , y la línea que pasa por $ A $ y es perpendicular a $ BD $ . Demostrar que los tres puntos $ E, P, Q $ son colineales.