$n$ es un entero dado, encuentra todas las funciones $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , tales que para todos los enteros $x,y$ tenemos $f\left( {x + y + f(y)} \right) = f(x) + ny$ .

Para un entero positivo $n$ , denotamos por $\tau (n)$ el número de sus divisores positivos. Para un entero positivo $n$ , si $\tau (m) < \tau (n)$ para todo $m < n$ , llamamos a $n$ un número bueno. Demuestra que para cualquier entero positivo $k$ , solo hay un número finito de números buenos no divisibles por $k$ .

Dadas dos circunferencias ${\omega _1},{\omega _2}$ , $S$ denota todos los $\Delta ABC$ que satisfacen que ${\omega _1}$ es la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ , ${\omega _2}$ es la $A$ - excírculo de $\Delta ABC$ , ${\omega _2}$ toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ . $S$ no está vacío, demuestra que el centroide de $\Delta DEF$ es un punto fijo.

Sea $x_n=\binom{2n}{n}$ para todo $n\in\mathbb{Z}^+$ . Demuestra que existen infinitos conjuntos finitos $A,B$ de enteros positivos, satisfaciendo $A \cap B = \emptyset $ , y \[\frac{{\prod\limits_{i \in A} {{x_i}} }}{{\prod\limits_{j\in B}{{x_j}} }}=2012.\]

Dado un triángulo escaleno $ABC$ . Su incírculo toca a $BC,AC,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Sean $L,M,N$ los puntos simétricos de $D$ con $EF$ , de $E$ con $FD$ , de $F$ con $DE$ , respectivamente. La línea $AL$ intersecta a $BC$ en $P$ , la línea $BM$ intersecta a $CA$ en $Q$ , la línea $CN$ intersecta a $AB$ en $R$ . Demuestra que $P,Q,R$ son colineales.

Números complejos ${x_i},{y_i}$ satisfacen $\left| {{x_i}} \right| = \left| {{y_i}} \right| = 1$ para $i=1,2,\ldots ,n$ . Sea $x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}$ , $y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{{y_i}}$ y $z_i=x{y_i}+y{x_i}-{x_i}{y_i}$ . Demuestra que $\sum\limits_{i=1}^n{\left| {{z_i}}\right|}\leqslant n$ .

Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, una cuadrícula de $2n \times 2n$ tiene $k$ celdas negras y el resto celdas blancas. Se permiten las siguientes dos operaciones: (1) Si un cuadrado de $2\times 2$ tiene exactamente tres celdas negras, la cuarta se cambia a una celda negra; (2) Si hay exactamente dos celdas negras en un cuadrado de $2 \times 2$, las celdas negras se cambian a blancas y las blancas a negras. Encuentre el menor entero positivo $k$ tal que para cualquier configuración de la cuadrícula de $2n \times 2n$ con $k$ celdas negras, todas las celdas pueden ser negras después de un número finito de operaciones.

Dado un primo $p$ y un número real $\lambda \in (0,1)$ . Sean $s$ y $t$ enteros positivos tales que $s \leqslant t < \frac{\lambda p}{12}$ . $S$ y $T$ son conjuntos de $s$ y $t$ enteros positivos consecutivos respectivamente, que satisfacen $$\left| \left\{ (x,y) \in S \times T : kx \equiv y \pmod p \right\}\right| \geqslant 1 + \lambda s.$$ Pruebe que existen enteros $a$ y $b$ que $1 \leqslant a \leqslant \frac{1}{ \lambda}$ , $\left| b \right| \leqslant \frac{t}{\lambda s}$ y $ka \equiv b \pmod p$ .

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb {Z}\to\mathbb Z$ , que satisfacen que para cualquier entero ${a}$ , ${b}$ , ${c}$ , $$2f(a^2+b^2+c^2)-2f(ab+bc+ca)=f(a-b)^2+f(b-c)^2+f(c-a)^2$$

Dado un entero $n\geq 2$ . Encuentre el valor mínimo de $\lambda {}$ , que satisface que para cualquier número real $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , ${a_n}$ y ${b}$ , $$\lambda\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{|a_i-b|}+\sqrt{n\left|\sum\limits_{i=1}^na_i\right|}\geqslant\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{|a_i|}.$$