Sean $a,b,d$ enteros tales que $\left|a\right| \geqslant 2$ , $d \geqslant 0$ y $b \geqslant \left( \left|a\right| + 1\right)^{d + 1}$ . Para un polinomio $f$ de coeficiente real de grado $d$ y entero $n$ , sea $r_n$ el residuo de $\left[ f(n) \cdot a^n \right]$ mod $b$ . Si $\left \{ r_n \right \}$ es eventualmente periódico, pruebe que todos los coeficientes de $f$ son racionales.

Sean $A,B$ dos puntos fijos en el círculo unitario $\omega$ , que satisfacen $\sqrt{2} < AB < 2$ . Sea $P$ un punto que se puede mover en el círculo unitario, y se puede mover a cualquier lugar en el círculo unitario satisfaciendo que $\triangle ABP$ es agudo y $AP>AB>BP$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABP$ y $S$ un punto en el arco menor $AP$ que satisface $SH=AH$ . Sea $T$ un punto en el arco menor $AB$ que satisface $TB || AP$ . Sea $ST\cap BP = Q$ . Muestre que (recuerde que $P$ varía) el círculo con diámetro $HQ$ pasa por un punto fijo.

Encuentre la mayor constante $\lambda$ tal que para cualquier matriz doblemente estocástica de orden 100, podemos escoger $150$ entradas tales que si las otras $9850$ entradas se reemplazan por $0$ , la suma de las entradas en cada fila y cada columna es al menos $\lambda$ . Nota: Una matriz doblemente estocástica de orden $n$ es una matriz de $n\times n$, todas las entradas son reales no negativas, y la suma de las entradas en cada fila y columna es igual a 1.

¿Hay enteros $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , que son diferentes entre sí, que satisfacen: (1) Para $\forall k\in\mathbb N_+$ , $a_{k^2}>0$ y $a_{k^2+k}<0$ ; (2) Para $\forall n\in\mathbb N_+$ , $\left| a_{n+1}-a_n\right|\leqslant 2023\sqrt n$ ?

Sean $\Gamma, \Gamma_1, \Gamma_2$ círculos mutuamente tangentes. Los tres círculos también son tangentes a una recta $l$ . Sean $\Gamma, \Gamma_1$ tangentes entre sí en $B_1$ , $\Gamma, \Gamma_2$ tangentes entre sí en $B_2$ , $\Gamma_1, \Gamma_2$ tangentes entre sí en $C$ . $\Gamma, \Gamma_1, \Gamma_2$ son tangentes a $l$ en $A, A_1, A_2$ respectivamente, donde $A$ está entre $A_1,A_2$ . Sean $D_1 = A_1C \cap A_2B_2, D_2 = A_2C \cap A_1B_1$ . Pruebe que $D_1D_2$ es paralelo a $l$ .

Para un cuadrilátero convexo $ABCD$ , llame a un punto en el interior de $ABCD$ balanceado , si (1) $P$ no está en $AC,BD$ (2) Sean $AP,BP,CP,DP$ intersectan las fronteras de $ABCD$ en $A', B', C', D'$ , respectivamente, entonces $$AP \cdot PA' = BP \cdot PB' = CP \cdot PC' = DP \cdot PD'$$ Encuentre el máximo número posible de puntos balanceados.

Para cualquier conjunto finito no vacío $B$ y real $x$ , defina $$d_B(x) = \min_{b\in B} |x-b|$$ (1) Dado un entero positivo $m$ . Encuentre el menor número real $\lambda$ (posiblemente dependiendo de $m$ ) tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera reales $x_1,\cdots,x_n \in [0,1]$ , existe un conjunto $B$ de $m$ elementos de números reales que satisfacen $$d_B(x_1)+\cdots+d_B(x_n) \le \lambda n$$ (2) Dado un entero positivo $m$ y real positivo $\epsilon$ . Pruebe que existe un entero positivo $n$ y reales no negativos $x_1,\cdots,x_n$ , que satisfacen que para cualquier conjunto $B$ de $m$ elementos de números reales, tenemos $$d_B(x_1)+\cdots+d_B(x_n) > (1-\epsilon)(x_1+\cdots+x_n)$$.

¿Existe un número irracional positivo ${x},$ tal que hay como máximo finitos enteros positivos ${n},$ que satisfacen que para cualquier entero $1\leq k\leq n,$ $\{kx\}\geq\frac 1{n+1}?$

Pruebe que existe algún número real positivo $\lambda$ tal que para cualquier $D_{>1}\in\mathbb{R}$ , siempre se puede encontrar un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ en el plano cartesiano tal que $A, B, C$ están en puntos reticulares; $AB, BC, CA>D$ ; $S_{\triangle ABC}<\frac{\sqrt 3}{4}D^2+\lambda\cdot D^{4/5}$ .

Sea $n\in\mathbb N_+.$ Para $1\leq i,j,k\leq n,a_{ijk}\in\{ -1,1\} .$ Pruebe que: $\exists x_1,x_2,\cdots ,x_n,y_1,y_2,\cdots ,y_n,z_1,z_2,\cdots ,z_n\in \{-1,1\} ,$ que satisfacen $$\left| \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^na_{ijk}x_iy_jz_k\right| >\frac {n^2}3.$$