¿Existe un conjunto infinito $S$ que consta de enteros positivos, de modo que para cualquier $x,y,z,w\in S,x<y,z<w$, si $(x,y)\ne (z,w)$, entonces $\gcd(xy+2022,zw+2022)=1$?

En un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, $H$ es el ortocentro, $BD$, $CE$ son alturas. $M$ es el punto medio de $BC$. $P$, $Q$ están en los segmentos $BM$, $DE$, respectivamente. $R$ está en el segmento $PQ$ tal que $\frac{BP}{EQ}=\frac{CP}{DQ}=\frac{PR}{QR}$. Suponga que $L$ es el ortocentro de $\triangle AHR$, entonces pruebe: $QM$ pasa por el punto medio de $RL$.

Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a\geq b,c\geq d$, \[|a|+2|b|+3|c|+4|d|=1.\] Sea $P=(a-b)(b-c)(c-d)$, encontrar el valor máximo y mínimo de $P$.

Llamamos a un conjunto $S$ un buen conjunto si $S=\{x,2x,3x\}(x\neq 0).$ Para un entero dado $n(n\geq 3),$ determine el número más grande posible de subconjuntos buenos de un conjunto que contiene $n$ enteros positivos.

Demuestre que para cualquier entero positivo $k,$ existen finitamente muchos conjuntos $T$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(1)T$ consta de finitamente muchos números primos; $(2)\textup{ }\prod_{p\in T} (p+k)$ es divisible por $ \prod_{p\in T} p.$

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n (n\ge 2)$ números positivos tales que $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n .$ Demuestre que $$\sum_{1\leq i< j \leq n} (a_i+a_j)^2\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{j^2}\right)\geq 4(n-1)\sum_{i=1}^{n}\frac{a^2_i}{i^2}.$$

En el triángulo acutángulo $ABC,$ $AB>AC.$ Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ y es paralela a $AB$ interseca a la recta $AC$ en $M,$ y la recta que pasa por $H$ y es paralela a $AC$ interseca a la recta $AB$ en $N.$ $L$ es la reflexión del punto $H$ en $MN.$ La recta $OL$ y $AH$ se intersecan en $K.$ Demuestre que $K,M,L,N$ son concíclicos.

Sea $n$ un entero dado tal que $n\ge 2$ . Encuentre el número real más pequeño $\lambda$ con la siguiente propiedad: para cualquier número real $x_1,x_2,\ldots ,x_n\in [0,1]$ , existen enteros $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots ,\varepsilon_n\in\{0,1\}$ tal que la desigualdad $$\left\vert \sum^j_{k=i} (\varepsilon_k-x_k)\right\vert\le \lambda$$ se cumple para todos los pares de enteros $(i,j)$ donde $1\le i\le j\le n$ .

Sea $S=\{(i,j) \vert i,j=1,2,\ldots ,100\}$ un conjunto que consta de puntos en el plano de coordenadas. Cada elemento de $S$ se colorea con uno de los cuatro colores dados. Un subconjunto $T$ de $S$ se llama colorido si $T$ consta de exactamente $4$ puntos con distintos colores, que son los vértices de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre el número máximo posible de subconjuntos coloridos que $S$ puede tener, entre todos los patrones de coloración legítimos.

Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $K$ la intersección de $AM$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ , tal que $M$ se encuentra entre $A$ y $K$ . Sea $N$ la intersección de $HK$ y $BC$ . Demuestre que si $\angle BAM=\angle CAN$ , entonces $AN\perp OH$ .