Dado un entero positivo $ n$ , hallar todos los enteros $ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$ que satisfacen las siguientes condiciones: $ (1): a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\ge n^2;$ $ (2): a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{n}^2\le n^3+1.$

Dado un trapecio $ ABCD$ con $ AD\parallel BC, E$ es un punto móvil en el lado $ AB,$ sean $ O_{1},O_{2}$ los circuncentros de los triángulos $ AED,BEC$ , respectivamente. Demostrar que la longitud de $ O_{1}O_{2}$ es un valor constante.

Sea $ n$ un entero positivo, sean los conjuntos $ A_{1},A_{2},\cdots,A_{n + 1}$ subconjuntos no vacíos del conjunto $ \{1,2,\cdots,n\}.$ Demostrar que existen dos subconjuntos no vacíos disjuntos del conjunto $ \{1,2,\cdots,n + 1\}$ : $ \{i_{1},i_{2},\cdots,i_{k}\}$ y $ \{j_{1},j_{2},\cdots,j_{m}\}$ tales que $ A_{i_{1}}\cup A_{i_{2}}\cup\cdots\cup A_{i_{k}} = A_{j_{1}}\cup A_{j_{2}}\cup\cdots\cup A_{j_{m}}$ .

En el plano complejo, considere los cuadrados que tienen la siguiente propiedad: los números complejos a los que corresponden sus vértices son exactamente las raíces de la ecuación con coeficientes enteros $ x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0$ . Hallar el mínimo de las áreas de los cuadrados.

Sea $ O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ ABC$ . El punto $ P$ está en el interior del triángulo $ AOB$ . Sean $ D,E,F$ las proyecciones de $ P$ sobre los lados $ BC,CA,AB$ , respectivamente. Demostrar que el paralelogramo que tiene a $ FE$ y $ FD$ como lados adyacentes está contenido en el triángulo $ ABC$ .

Hallar todos los enteros positivos $ n$ tales que $ n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ es un cuadrado perfecto.

Un balón de fútbol está cubierto por algunas piezas poligonales de cuero que están cosidas con tres hilos de diferentes colores. Se caracteriza de la siguiente manera: i) cada arista de una pieza poligonal de cuero está cosida con una arista de igual longitud de otra pieza poligonal de cuero por un hilo de cierto color; ii) cada nodo en la pelota es vértice de exactamente tres polígonos, y los tres hilos unidos en el nodo son de diferentes colores. Demuestre que podemos asignar a cada nodo en la pelota un número complejo (no igual a $1$ ) , tal que el producto de los números asignados a los vértices de cualquier cara poligonal es igual a $1$ .

Encuentre todos los números naturales $n$ , tales que $\min_{k\in \mathbb{N}}(k^2+[n/k^2])=1991$ . ( $[n/k^2]$ denota la parte entera de $n/k^2$ . )

Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(x,y,z,n)$ de la ecuación $x^{2n+1}-y^{2n+1}=xyz+2^{2n+1}$ , donde $n\ge 2$ y $z \le 5\times 2^{2n}$ .

Hay $10$ pájaros en el suelo. Para cualquiera $5$ de ellos, hay al menos $4$ pájaros en un círculo. Determine el menor número posible de pájaros en el círculo con la mayor cantidad de pájaros.