Dado un cuadrado $ABCD$ cuya longitud lateral es $1$ , $P$ y $Q$ son puntos en los lados $AB$ y $AD$ . Si el perímetro de $APQ$ es $2$ , encuentre el ángulo $PCQ$ .

Dado un triángulo $ABC$ para el cual $C=90$ grados, demuestre que dados $n$ puntos dentro de él, podemos nombrarlos $P_1, P_2 , \ldots , P_n$ de alguna manera tal que: $\sum^{n-1}_{k=1} \left( P_K P_{k+1} \right)^2 \leq AB^2$ (la suma es sobre el cuadrado consecutivo de los segmentos desde $1$ hasta $n-1$ ) .

Dado un entero positivo $A$ escrito en expansión decimal: $(a_{n},a_{n-1}, \ldots, a_{0})$ y sea $f(A)$ denotar $ \sum^{n}_{k=0} 2^{n-k}\cdot a_k$ . Defina $A_1=f(A), A_2=f(A_1)$ . Demuestre que:\nI. Existe un entero positivo $k$ para el cual $A_{k+1}=A_k$ .\nII. Encuentre tal $A_k$ para $19^{86}.$

Sean $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ y $ b_1$ , $ b_2$ , ..., $ b_n$ ser $ 2 \cdot n$ números reales. Demuestre que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:\ni) Para cualquier $ n$ números reales $ x_1$ , $ x_2$ , ..., $ x_n$ que satisfacen $ x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_ n$ , tenemos $ \sum^{n}_{k = 1} a_k \cdot x_k \leq \sum^{n}_{k = 1} b_k \cdot x_k,$\nii) Tenemos $ \sum^{s}_{k = 1} a_k \leq \sum^{s}_{k = 1} b_k$ para cada $ s\in\left\{1,2,...,n-1\right\}$ y $ \sum^{n}_{k = 1} a_k = \sum^{n}_{k = 1} b_k$ .

Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que los incentros de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ son los vértices de un rectángulo.

Para enteros positivos $a,b,c$ sean $ \alpha, \beta, \gamma$ enteros positivos distintos por pares tales que \[ \begin{cases}{c} \displaystyle a &= \alpha + \beta + \gamma, \\ b &= \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \gamma + \gamma \cdot \alpha, \\ c^2 &= \alpha\beta\gamma. \end{cases} \] Además, sea $ \lambda$ un número real que satisface la condición \n\[\lambda^4 -2a\lambda^2 + 8c\lambda + a^2 - 4b = 0.\]\nDemuestra que $\lambda$ es un entero si y sólo si $\alpha, \beta, \gamma$ son todos cuadrados perfectos.

¿Existen $ 2002$ enteros positivos distintos $ k_1, k_2, \cdots k_{2002}$ tales que para cualquier entero positivo $ n \geq 2001$ , uno de $ k_12^n + 1, k_22^n + 1, \cdots, k_{2002}2^n + 1$ es primo?

$ A$ es un conjunto de puntos en el plano, $ L$ es una línea en el mismo plano. Si $ L$ pasa a través de uno de los puntos en $ A$ , entonces llamamos a eso $ L$ pasa a través de $ A$ . (1) Demuestra que podemos dividir todos los puntos racionales en $ 100$ conjuntos de puntos sin intersección por pares con elementos infinitos. Si para cualquier línea en el plano, hay dos puntos racionales en ella, entonces pasa por los $ 100$ conjuntos. (2) Encuentra el mayor entero $ r$ , para que si dividimos todos los puntos racionales en el plano en $ 100$ conjuntos de puntos sin intersección por pares con elementos infinitos con cualquier método, entonces hay al menos una línea que pasa por $ r$ conjuntos de los $ 100$ conjuntos de puntos.

Dado un entero positivo $ m \geq 17$ , $ 2m$ participantes participan en una competencia circular. En cada ronda, dividimos los $ 2m$ participantes en $ m$ grupos, y los dos participantes en un grupo juegan uno contra el otro. Los grupos se vuelven a dividir en la siguiente ronda. Los participantes compiten durante $ 2m-1$ rondas para que cada participante haya jugado un juego con todos los $ 2m-1$ jugadores. Encuentra el entero positivo más pequeño posible $ n$ , para que exista una competencia válida y después de $ n$ rondas, para cualquier $ 4$ participantes, ninguno de ellos haya jugado con los demás o se hayan jugado al menos $ 2$ juegos dentro de esos $ 4$ .

Encuentra todos los enteros no negativos $m$ y $n$ , tales que $(2^n-1) \cdot (3^n-1)=m^2$ .