La circunferencia $ O$ está inscrita en un trapecio $ ABCD$ , $ \angle{A}$ y $ \angle{B}$ son todos ángulos agudos. Una línea que pasa por $ O$ interseca $ AD$ en $ E$ y $ BC$ en $ F$ , y satisface las siguientes condiciones: (1) $ \angle{DEF}$ y $ \angle{CFE}$ son ángulos agudos. (2) $ AE+BF=DE+CF$ . Sea $ AB=a$ , $ BC=b$ , $ CD=c$ , entonces usa $ a,b,c$ para expresar $ AE$ .

Hay un juego. El mago deja que el participante piense en un entero positivo (al menos dos dígitos). Por ejemplo, un entero $ \displaystyle\overline{a_1a_2 \cdots a_n}$ se reorganiza como $ \overline{a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_n}}$ , es decir, $ i_1, i_2, \cdots, i_n$ es una permutación de $ 1,2, \cdots, n$ . Entonces obtenemos $ n!-1$ enteros. Se le pide al participante que calcule la suma de los $ n!-1$ números, luego le diga al mago la suma $ S$ . El mago afirma ser capaz de saber el número original cuando le dicen la suma $ S$ . Intenta decidir si el mago puede tener éxito o no.

$ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ se intersecan en los puntos $ P$ y $ Q$ . La circunferencia que pasa por $ P$ , $ O_1$ y $ O_2$ se interseca con $ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ en los puntos $ A$ y $ B$ . Demuestra que la distancia desde $ Q$ a las líneas $ PA$ , $ PB$ y $ AB$ son iguales. (Demuestra los siguientes tres casos: $ O_1$ y $ O_2$ están en el espacio común de $ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ ; $ O_1$ y $ O_2$ están fuera del espacio común de $ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ ; $ O_1$ está en el espacio común de $ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ , $ O_2$ está fuera del espacio común de $ \odot O_1$ y $ \odot O_2$ .

Dado que $ a_1=1$ , $ a_2=5$ , $ \displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n \cdot a_{n-1}}{\sqrt{a_n^2 + a_{n-1}^2 + 1}}$ . Encuentra una expresión del término general de $ \{ a_n \}$ .

$ n$ conjuntos $ S_1$ , $ S_2$ $ \cdots$ , $ S_n$ consisten en números no negativos. $ x_i$ es la suma de todos los elementos de $ S_i$ , demuestra que hay un número natural $ k$ , $ 1<k<n$ , y: \[ \sum_{i=1}^n x_i < \frac{1}{k+1} \left[ k \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - (k+1)^2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right]\] y existen subíndices $ i$ , $ j$ , $ t$ , y $ l$ (al menos $ 3$ de ellos son distintos) tales que $ x_i + x_j = x_t + x_l$ .

$ m$ y $ n$ son enteros positivos. En un tablero de ajedrez de $ 8 \times 8$ , $ (m,n)$ denota el número de casillas que un Caballo puede saltar en un tablero de ajedrez ( $ m$ horizontal $ n$ vertical o $ n$ horizontal $ m$ vertical ). Si un $ (m,n) \textbf{Caballo}$ comienza desde una casilla, pasa por cada casilla una y sólo una vez, entonces llamamos a este tipo de ruta de salto de Caballo una $ \textbf{H Ruta}$ . Por ejemplo, el $ (1,2) \textbf{Caballo}$ tiene su $ \textbf{H Ruta}$ . Encuentra el entero positivo más pequeño $ t$ , tal que desde cualquier casilla del tablero de ajedrez, el $ (t,t+1) \textbf{Caballo}$ no tiene ninguna $ \textbf{H Ruta}$ .

En el triángulo acutángulo $ ABC$ , demuestra que: $ \sin^3{A}\cos^2{(B - C)} + \sin^3{B}\cos^2{(C - A)} + \sin^3{C}\cos^2{(A - B)} \leq 3\sin{A} \sin{B} \sin{C}$ y averigua cuándo se cumple la igualdad.

Encuentra todos los grupos de enteros positivos $ (a,x,y,n,m)$ que satisfacen $ a(x^n - x^m) = (ax^m - 4) y^2$ y $ m \equiv n \pmod{2}$ y $ ax$ es impar.

Las circunferencias $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2}$ se intersecan en los puntos $ A$ y $ B$. Los puntos $ C$ y $ D$ están en las circunferencias $ \omega_{1}$ y $ \omega_{2},$ respectivamente, de tal manera que las líneas $ AC$ y $ AD$ son tangentes a las circunferencias $ \omega_{2}$ y $ \omega_{1},$ respectivamente. Sean $ I_{1}$ y $ I_{2}$ los incentros de los triángulos $ ABC$ y $ ABD,$ respectivamente. Los segmentos $ I_{1}I_{2}$ y $ AB$ se intersecan en $ E$ . Demuestra que: $ \frac {1}{AE} = \frac {1}{AC} + \frac {1}{AD}$

Dado un entero positivo $ n$ , para todos los enteros positivos $ a_1, a_2, \cdots, a_n$ que satisfacen $ a_1 = 1$ , $ a_{i + 1} \leq a_i + 1$ , encuentra $ \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} a_1a_2 \cdots a_i$ .