Para $100$ líneas rectas en un plano, sea $T$ el conjunto de todos los triángulos rectángulos delimitados por algunas $3$ líneas. Determine, con prueba, el valor máximo de $|T|$ .

Sea el entero $n \ge 2$, y $x_1,x_2,\cdots,x_n $ números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^nx_i=1$. Demuestre que $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\right)\left(\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j\right)\le \frac{n}{2}.$$

Dos círculos $ \left(\Omega_1\right),\left(\Omega_2\right) $ son tangentes internamente en el punto $ T $. Sean $ M,N $ dos puntos en el círculo $ \left(\Omega_1\right) $ que son diferentes de $ T $ y $ A,B,C,D $ cuatro puntos en $ \left(\Omega_2\right) $ tales que las cuerdas $ AB, CD $ pasan por $ M,N $ , respectivamente. Demuestre que si $ AC,BD,MN $ tienen un punto común $ K $ , entonces $ TK $ es la bisectriz del ángulo $ \angle MTN $ . * $ \left(\Omega_2\right) $ es más grande que $ \left(\Omega_1\right) $

Sea el entero $n \ge 2$, y $x_1,x_2,\cdots,x_n $ números reales tales que $\sum_{k=1}^nx_k$ sea entero. $d_k=\underset{m\in {Z}}{\min}\left|x_k-m\right| $, $1\leq k\leq n$. Encuentre el valor máximo de $\sum_{k=1}^nd_k$.

$3n$ ( $n \ge 2, n \in N$ ) personas asisten a una reunión, en la que dos conocidos cualesquiera tienen exactamente $n$ conocidos en común, y dos personas desconocidas cualesquiera tienen exactamente $2n$ conocidos en común. Si tres personas se conocen, se llama Grupo Taoyuan . (1) Encuentre el número de todos los grupos Taoyuan; (2) Demuestre que estas $3n$ personas se pueden dividir en tres grupos, con $n$ personas en cada grupo, y las tres personas obtenidas al seleccionar aleatoriamente una persona de cada grupo constituyen un grupo Taoyuan. Nota: Conocido significa que dos personas se conocen, de lo contrario no son conocidos. Dos personas que se conocen se llaman conocidos.

Suponga que $\{a_n\}$ es una secuencia tal que $a_{n+1}=(1+\frac{k}{n})a_{n}+1$ con $a_{1}=1$ . Encuentre todos los enteros positivos $k$ tales que cualquier $a_n$ sea entero.

Como se muestra en la figura , se sabe que $M$ es el punto medio del lado $BC$ del $\vartriangle ABC$ . $\odot O$ pasa por los puntos $A, C$ y es tangente a $AM$ . La extensión del segmento $BA$ interseca a $\odot O$ en el punto $D$ . Las líneas $CD$ y $MA$ se intersecan en el punto $P$ . Pruebe que $PO \perp BC$ .

Encuentre todos los no enteros $x$ tales que $x+\frac{13}{x}=[x]+\frac{13}{[x]} . $ donde $[x]$ significa el entero más grande $n$ , donde $n\leq x.$

Para enteros positivos $n,a,b$ , si $n=a^2 +b^2$ , y $a$ y $b$ son coprimos, entonces el par de números $(a,b)$ se llama una división cuadrada de $n$ (el orden de $a, b$ no cuenta). Pruebe que para cualquier $k$ positivo , solo hay dos divisiones cuadradas del entero $13^k$ .

Como se muestra en la figura , $A,B$ son dos puntos fijos del círculo $\odot O$ , $C$ es el punto medio del arco mayor $AB$ , $D$ es cualquier punto del arco menor $AB$ . La tangente en $D$ interseca a las tangentes en $A,B$ en los puntos $E,F$ respectivamente. Los segmentos $CE$ y $CF$ intersecan a la cuerda $AB$ en los puntos $G$ y $H$ respectivamente. Pruebe que la longitud del segmento de línea $GH$ tiene un valor fijo.