Si $a_1,a_2,\cdots,a_{2013}\in[-2,2]$ y $a_1+a_2+\cdots+a_{2013}=0$ , encuentre el máximo de $a^3_1+a^3_2+\cdots+a^3_{2013}$ .

Encuentre el entero positivo más grande $n$ ( $n \ge 3$ ) , tal que haya un $n$ - gon convexo, la tangente de cada ángulo interior sea un entero.

Un rectángulo de $m\times n(m,n\in \mathbb{N}^*)$ se divide en algunos cuadrados más pequeños. Los lados de cada cuadrado son todos paralelos a los lados correspondientes del rectángulo, y la longitud de cada lado es un entero. Determine el mínimo de la suma de los lados de estos cuadrados.

Si los reales no negativos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ satisfacen \[ \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2\sum_{1 \leq k < j \leq n} \sqrt{\frac{k}{j}}x_kx_j = 1 \] ¿cuáles son los valores mínimo y máximo de $\sum_{i=1}^n x_i$ ?

Sean $O,H$ el circuncentro y ortocentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. La línea $AH$ y $BC$ se intersecan en $D,$ La línea $BH$ y $AC$ se intersecan en $E,$ La línea $CH$ y $AB$ se intersecan en $F,$ La línea $AB$ y $ED$ se intersecan en $M,$ $AC$ y $FD$ se intersecan en $N.$ Pruebe que $(1)OB\perp DF,OC\perp DE;$ $(2)OH\perp MN.$

Encuentre el número de enteros $k$ en el conjunto $\{0, 1, 2, \dots, 2012\}$ tal que $\binom{2012}{k}$ es un múltiplo de $2012$.

Sea $\{a_n\}$ una secuencia de enteros positivos no decrecientes tal que $\textstyle\frac{r}{a_r} = k+1$ para algunos enteros positivos $k$ y $r$. Demuestre que existe un entero positivo $s$ tal que $\textstyle\frac{s}{a_s} = k$.

Hay $n$ ciudades, $2$ compañías aéreas en un país. Entre dos ciudades cualesquiera, hay exactamente un vuelo de $2$ vías que las conecta y que es operado por una de las dos compañías. Una matemática planea una ruta de viaje, de modo que comience y termine en la misma ciudad, pase por al menos otras dos ciudades, y cada ciudad de la ruta sea visitada una vez. Ella descubre que dondequiera que empiece y cualquiera que sea la ruta que elija, debe tomar vuelos de ambas compañías. Encuentre el valor máximo de $n$.

Como se muestra en la figura a continuación, el círculo inscrito de $ABC$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, y $O$ es el circuncentro de $BCI$. Demuestre que $\angle ODB = \angle OEC$.

Hay una piedra en cada vértice de un $13$ -gono regular dado, y el color de cada piedra es blanco o negro. Demuestre que podemos intercambiar la posición de dos piedras de manera que la coloración de estas piedras sea simétrica con respecto a algún eje simétrico del $13$ -gono.