Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros que satisfacen: existe un entero $d \ge 2$ tal que $a^n + b^n +1$ es divisible por $d$ para todos los enteros positivos $n$.

Los círculos $Q_1$ y $Q_2$ son tangentes entre sí externamente en $T$. Los puntos $A$ y $E$ están en $Q_1$, las líneas $AB$ y $DE$ son tangentes a $Q_2$ en $B$ y $D$, respectivamente, las líneas $AE$ y $BD$ se encuentran en el punto $P$. Demuestre que (1) $\frac{AB}{AT}=\frac{ED}{ET}$ ; (2) $\angle ATP + \angle ETP = 180^{\circ}$ .

Sean $ a_1, a_2,\ldots, a_n$ números reales no negativos. Demuestre que $\frac{1}{1+ a_1}+\frac{ a_1}{(1+ a_1)(1+ a_2)}+\frac{ a_1 a_2}{(1+ a_1)(1+ a_2)(1+ a_3)}+$ $\cdots+\frac{ a_1 a_2\cdots a_{n-1}}{(1+ a_1)(1+ a_2)\cdots (1+ a_n)} \le 1.$

Para todos los números naturales $n$ , define $f(n) = \tau (n!) - \tau ((n-1)!)$ , donde $\tau(a)$ denota el número de divisores positivos de $a$ . Demuestra que existen infinitos $n$ compuestos , tales que para todos los naturales $m < n$ , tenemos $f(m) < f(n)$ .

Sea $G$ el grafo completo sobre $2015$ vértices. Cada arista de $G$ se tiñe de rojo, azul o blanco. Para un subconjunto $V$ de vértices de $G$ , y un par de vértices $(u,v)$ , define \[ L(u,v) = \{ u,v \} \cup \{ w | w \in V \ni \triangle{uvw} \text{ tiene exactamente 2 lados rojos} \}\] Demuestra que, para cualquier elección de $V$ , existen al menos $120$ valores distintos de $L(u,v)$ .

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ $(n\geq2)$ una secuencia monótona no decreciente de números positivos tales que $x_1,\frac{x_2}{2},\cdots,\frac{x_n}{n}$ es una secuencia monótona no creciente .Demuestra que \[ \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i }{n\left (\prod_{i=1}^{n}x_i \right )^{\frac{1}{n}}}\le \frac{n+1}{2\sqrt[n]{n!}}\]

Sean $a,b$ dos enteros tales que su mcd tiene al menos dos factores primos. Sea $S = \{ x \mid x \in \mathbb{N}, x \equiv a \pmod b \} $ y llama a $ y \in S$ irreducible si no se puede expresar como producto de dos o más elementos de $S$ (no necesariamente distintos). Muestra que existe $t$ tal que cualquier elemento de $S$ puede expresarse como producto de a lo sumo $t$ elementos irreducibles.

Sea $X$ un conjunto no vacío y finito, $A_1,...,A_k$ $k$ subconjuntos de $X$ , satisfaciendo: (1) $|A_i|\leq 3,i=1,2,...,k$ (2) Cualquier elemento de $X$ es un elemento de al menos $4$ conjuntos entre $A_1,....,A_k$ . Demuestra que se puede seleccionar $[\frac{3k}{7}] $ conjuntos de $A_1,...,A_k$ tales que su unión es $X$ .

$\triangle{ABC}$ es isósceles con $AB = AC >BC$ . Sea $D$ un punto en su interior tal que $DA = DB+DC$ . Supón que la mediatriz de $AB$ se encuentra con la bisectriz del ángulo externo de $\angle{ADB}$ en $P$ , y sea $Q$ la intersección de la mediatriz de $AC$ y la bisectriz del ángulo externo de $\angle{ADC}$ . Demuestra que $B,C,P,Q$ son concíclicos.

Asume que $p$ es un número primo. Si hay un entero positivo $a$ tal que $p!|(a^p + 1)$ , demuestra que : \n(1) $(a+1, \frac{a^p+1}{a+1}) = p$ \n(2) $\frac{a^p+1}{a+1}$ no tiene factores primos menores que $p$ . \n(3) $p!|(a +1) $ .