Dado un entero positivo $n$, encuentra todas las $n$ - tuplas de números reales $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tales que \[ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{k_1=0}^{2} \sum_{k_2=0}^{2} \cdots \sum_{k_n=0}^{2} \big| k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n-1 \big| \] alcanza su mínimo.

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sean $n$ enteros positivos que no son divisibles entre sí, es decir, para cualquier $i \neq j$, $a_i$ no es divisible por $a_j$. Demuestra que \[ a_1+a_2+\cdots+a_n \ge 1.1n^2-2n. \] Nota: Una prueba de la desigualdad cuando $n$ es suficientemente grande recibirá puntos dependiendo de tus resultados.

Dado un triángulo no rectángulo $ABC$ con $BC>AC>AB$. Dos puntos $P_1 \neq P_2$ en el plano satisfacen que, para $i=1,2$, si $AP_i, BP_i$ y $CP_i$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $D_i, E_i$, y $F_i$, respectivamente, entonces $D_iE_i \perp D_iF_i$ y $D_iE_i = D_iF_i \neq 0$. Sea la recta $P_1P_2$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $Q_1$ y $Q_2$. Las rectas de Simson de $Q_1$, $Q_2$ con respecto a $ABC$ se intersecan en $W$. Demuestra que $W$ se encuentra en el círculo de los nueve puntos de $ABC$.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(m, n)$, tales que en una tabla de $m \times n$ (con $m+1$ líneas horizontales y $n+1$ líneas verticales), se puede dibujar una diagonal en algunos cuadrados unitarios (algunos cuadrados unitarios pueden no tener diagonales dibujadas, pero dos diagonales no se pueden dibujar ambas en un cuadrado unitario), de modo que el grafo obtenido tenga un ciclo Euleriano.

Sea $m$ un entero positivo, y $A_1, A_2, \ldots, A_m$ (no necesariamente diferentes) sean $m$ subconjuntos de un conjunto finito $A$. Se sabe que para cualquier subconjunto no vacío $I$ de $\{1, 2 \ldots, m \}$, \[ \Big| \bigcup_{i \in I} A_i \Big| \ge |I|+1. \] Demuestra que los elementos de $A$ pueden ser coloreados de blanco y negro, de modo que cada uno de $A_1,A_2,\ldots,A_m$ contenga tanto elementos blancos como negros.

Sea $C=\{ z \in \mathbb{C} : |z|=1 \}$ el círculo unitario en el plano complejo. Sean $z_1, z_2, \ldots, z_{240} \in C$ (no necesariamente diferentes) sean $240$ números complejos, satisfaciendo las siguientes dos condiciones: (1) Para cualquier arco abierto $\Gamma$ de longitud $\pi$ en $C$, hay como máximo $200$ de $j ~(1 \le j \le 240)$ tales que $z_j \in \Gamma$. (2) Para cualquier arco abierto $\gamma$ de longitud $\pi/3$ en $C$, hay como máximo $120$ de $j ~(1 \le j \le 240)$ tales que $z_j \in \gamma$. Encuentra el máximo de $|z_1+z_2+\ldots+z_{240}|$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle ACB>2 \angle ABC$. Sea $I$ el incentro de $ABC$, $K$ es la reflexión de $I$ en la recta $BC$. Sea la recta $BA$ y $KC$ se intersecan en $D$. La recta que pasa por $B$ paralela a $CI$ interseca el arco menor $BC$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E(E \neq B)$. La recta que pasa por $A$ paralela a $BC$ interseca la recta $BE$ en $F$. Demuestra que si $BF=CE$, entonces $FK=AD$.

Sean $a, b, c, p, q, r$ enteros positivos con $p, q, r \ge 2$. Denotemos \[Q=\{(x, y, z)\in \mathbb{Z}^3 : 0 \le x \le a, 0 \le y \le b , 0 \le z \le c \}. \] Inicialmente, algunas piezas se colocan en cada punto de $Q$, con un total de $M$ piezas. Luego, se pueden realizar repetidamente los siguientes tres tipos de operaciones: (1) Eliminar $p$ piezas en $(x, y, z)$ y colocar una pieza en $(x-1, y, z)$; (2) Eliminar $q$ piezas en $(x, y, z)$ y colocar una pieza en $(x, y-1, z)$; (3) Eliminar $r$ piezas en $(x, y, z)$ y colocar una pieza en $(x, y, z-1)$. Encuentra el entero positivo más pequeño $M$ tal que siempre se puede realizar una secuencia de operaciones, haciendo que una pieza se coloque en $(0,0,0)$, sin importar cómo se distribuyan inicialmente las piezas.

Sea $p$ un primo, $A$ es un conjunto infinito de enteros. Demuestra que existe un subconjunto $B$ de $A$ con $2p-2$ elementos, tal que la media aritmética de cualquier $p$ elementos distintos por pares en $B$ no pertenece a $A$.

En un hexágono convexo cíclico $ABCDEF$, $AB$ y $DC$ se intersecan en $G$, $AF$ y $DE$ se intersecan en $H$. Sean $M, N$ los circuncentros de $BCG$ y $EFH$, respectivamente. Demuestra que $BE$, $CF$ y $MN$ son concurrentes.