Sea $S(r)$ denota la suma de la serie geométrica infinita $17 + 17r + 17r^2 +17r^3 + . . . $ para $-1 < r < 1$. Si $S(a) \times S(-a) = 2023$, encuentra $S(a) + S(-a)$.

En el cuadrilátero $ABCD$, $AD || BC$, las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares entre sí, $X$ e $Y$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Demuestra que $AB + CD \geq AD + BC$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $10$ con coeficientes enteros no negativos. El residuo cuando $P(x)$ se divide por $(x - 1)$ es $3$. ¿Cuántos de tales polinomios hay?

Si $a,b,c \neq 0$ , demuestra que $\frac{a^2+b^2}{c^2} +\frac{b^2+c^2}{a^2} +\frac{c^2+a^2}{b^2} \geq 6$.

¿Cuál es el entero positivo más pequeño que tiene $24$ divisores positivos?

Si $n$ es un número par positivo, encuentra los dos últimos dígitos de $(2^{6n}+26)-(6^{2n}-62)$.

Si $xyz=1$ encuentra el valor de $\left(\frac{1}{1+x+\frac{1}{y}}+\frac{1}{1+y+\frac{1}{z}}+\frac{1}{1+z+\frac{1}{x}}\right)^2$.

¿Cuál es el residuo cuando $128^{2023}$ se divide por $126$?

¿Cuál es el menor valor posible de $x^2 + y^2 - x - y - xy$ donde $x, y$ son números reales?

Números reales $a, b, c$ satisfacen $(2b - a)^2 + (2b - c)^2 = 2(2b^2 - ac)$. Demuestra que $a + c = 2b$.