Sean $AL$ y $BK$ las bisectrices angulares en un triángulo no isósceles $ABC,$ donde $L$ se encuentra en $BC$ y $K$ se encuentra en $AC.$ La bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AL$ en $M$ . El punto $N$ se encuentra en la línea $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK.$ Demuestre que $LN=NA.$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc(a+b+c)=3.$ Demuestre que tenemos $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8.$ También determine el caso de igualdad.

Encuentre todos los números naturales $x,y,z$ tales que $(2^x-1)(2^y-1)=2^{2^z}+1.$

Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ un polinomio de grado $n\geq 3.$ Sabiendo que $a_{n-1}=-\binom{n}{1}$ y $a_{n-2}=\binom{n}{2},$ y que todas las raíces de $P$ son reales, encuentre los coeficientes restantes. Note que $\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ADC=\angle BCD>90^{\circ}$ . Sea $E$ el punto de intersección de $AC$ y la línea que pasa por $B$ paralela a $AD;$ sea $F$ el punto de intersección de $BD$ y la línea que pasa por $A$ paralela a $BC.$ Demuestre que $EF\parallel CD.$

Un círculo de radio $2$ está inscrito en un trapecio isósceles con un área de $28$. Encuentra la longitud del lado del trapecio.

Si en $\bigtriangleup ABC$ , $AD$ es la altura y $AE$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por $A$ , entonces demuestra que $AB\cdot AC = AD \cdot AE$. Usa este resultado para mostrar que si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, entonces muestra que $AC \cdot (AB \cdot BC + CD \cdot DA) = BD\cdot (DA\cdot AB + BC \cdot CD)$.

$n$ es un entero positivo tal que el producto de todos sus divisores positivos es $n^3$. Encuentra todos los $n$ menores que $100$.

Sea $f(x)$ un polinomio de grado $3$ con coeficientes reales que satisfacen $|f(x)| = 12$ para $x = 1, 2, 3, 5, 6, 7$. Encuentra $|f(0)|$.

Encuentra todas las posibles ternas de enteros $a, b, c$ que satisfacen $a+b-c = 1$ y $a^2+b^2-c^2 =-1$.