Encuentre la suma de todos los números naturales de 3 dígitos que contienen al menos un dígito impar y al menos un dígito par.

Demuestre que $ 3^{2008} + 4^{2009}$ se puede escribir como producto de dos enteros positivos, cada uno de los cuales es mayor que $ 2009^{182}$

Demuestre que no existe un entero $ a$ tal que $ a^2 - 3a - 19$ sea divisible por $ 289$

Sea $ ABC$ un triángulo en el que $ AB = AC$ y sea $ I$ su incentro. Suponga que $ BC = AB + AI$ . Encuentra $ \angle{BAC}$

Sea $P(x)$ = $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$ un polinomio en el que $a_i$ es un entero no negativo para cada $i \in$ { $0,1,2,3,....,n$ } . Si $P(1) = 4$ y $P(5) = 136$ , ¿cuál es el valor de $P(3)$ ?

Sea $D$ un punto interior del lado $BC$ de un triángulo $ABC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente. Sean $AI_1$ y $AI_2$ que se encuentran con $BC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $\angle BI_1E = 60^o$, ¿cuál es la medida de $\angle CI_2F$ en grados?

Sea $N$ el número de formas de distribuir $8$ chocolates de diferentes marcas entre $3$ niños de modo que cada niño obtenga al menos un chocolate, y no dos niños obtengan el mismo número de chocolates. Encuentra la suma de los dígitos de $N$.

¿Cuál es el número de formas en que se pueden colorear los cuadrados de un tablero de ajedrez de $4\times 4$ con los colores rojo y azul de tal manera que cada fila y cada columna tenga exactamente dos cuadrados rojos y dos cuadrados azules?

¿Cuál es el número de formas en que se pueden elegir $60$ cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $11 \times 11$ de modo que dos cuadrados elegidos no tengan un lado en común?

Sea $T$ el entero positivo más pequeño que, cuando se divide por $11,13,15$ deja restos en los conjuntos { $7,8,9$ } , { $1,2,3$ } , { $4,5,6$ } respectivamente. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los dígitos de $T$ ?