Si $x = cos 1^o cos 2^o cos 3^o...cos 89^o$ y $y = cos 2^o cos 6^o cos 10^o...cos 86^o$, entonces, ¿cuál es el entero más cercano a $\frac27 \log_2 \frac{y}{x}$?

En un triángulo $ABC$, rectángulo en $A$, la altura desde $A$ y la bisectriz interna de $\angle A$ tienen longitudes $3$ y $4$, respectivamente. Encuentre la longitud de la mediana desde $A$.

Determine el número de $8$ - tuplas $(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_8)$ tales que $\epsilon_1, \epsilon_2, ..., 8 \in \{1,-1\}$ y $\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 +...+ 8\epsilon_8$ es un múltiplo de $3$.

Hay varias tazas de té en la cocina, algunas con asas y otras sin asas. El número de formas de seleccionar dos tazas sin asa y tres con asa es exactamente $1200$. ¿Cuál es el número máximo posible de tazas en la cocina?

10 En un triángulo $ABC$ , la mediana de $B$ a $CA$ es perpendicular a la mediana de $C$ a $AB$ . Si la mediana de $A$ a $BC$ es $30$ , determine $\frac{BC^2 + CA^2 + AB^2}{100}$ .

9 Suponga que $a, b$ son enteros y $a+b$ es una raíz de $x^2 +ax+b = 0$ . ¿Cuál es el valor máximo posible de $b^2$ ?

8 Sea $AB$ una cuerda de un círculo con centro $O$ . Sea $C$ un punto en el círculo tal que $\angle ABC =30^o$ y $O$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $\angle DCO = \angle OCB = 20^o$ . Encuentra la medida de $\angle CDO$ en grados.

7 Un punto $P$ en el interior de un hexágono regular está a distancias de $8,8,16$ unidades de tres vértices consecutivos del hexágono, respectivamente. Si $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita del hexágono, ¿cuál es el entero más cercano a $r$ ?

6 Enteros $a, b, c$ satisfacen $a+b-c=1$ y $a^2+b^2-c^2=-1$ . ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a^2+b^2+c^2$ ?

Sea $ABCD$ un trapecio en el que $AB //CD$ y $AD \perp AB$. Suponga que $ABCD$ tiene un incírculo que toca a $AB$ en $Q$ y a $CD$ en $P$. Dado que $PC = 36$ y $QB = 49$, encuentre $PQ$.