Se sabe que $m$ y $n$ son enteros positivos, $m > n^{n-1}$ , y todos los números $m+1$ , $m+2$ , \dots, $m+n$ son compuestos. Demuestra que existen tales primos diferentes $p_1$ , $p_2$ , \dots, $p_n$ que $p_k$ divide a $m+k$ para $k = 1$ , 2, \dots, $n$ .

Ceros y unos están dispuestos en todos los cuadrados de la tabla de $n\times n$. Todos los cuadrados de la columna izquierda están llenos de unos, y la suma de los números en cada figura de la forma [asy]size(50); draw((2,1)--(0,1)--(0,2)--(2,2)--(2,0)--(1,0)--(1,2));[/asy] (que consta de un cuadrado y sus vecinos de la izquierda y de abajo) es par. Demuestra que no hay dos filas de la tabla que sean idénticas.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q.$ La línea $PQ$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $X$ y $Y.$ Encuentra $\angle XBY$ si $\angle ABC = 90^\circ.$

50 caballeros del Rey Arturo se sentaron en la Mesa Redonda. Una copa de vino blanco o tinto estaba frente a cada uno de ellos. Se sabe que al menos una copa de vino tinto y al menos una copa de vino blanco estaban sobre la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con una copa de vino tinto frente a él tomó una copa de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con una copa de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él le dio esta copa al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestra que a algún caballero se le acabó el vino.

Hay muchas sociedades de oposición en la ciudad de N. Cada sociedad consta de $10$ miembros. Se sabe que para cada $2004$ sociedades hay una persona que pertenece a al menos $11$ de ellas. Demuestra que el gobierno puede arrestar a $2003$ personas para que al menos un miembro de cada sociedad sea arrestado.

Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de radio 1 con centro $O;$ todos los ángulos de $ABC$ son mayores que $45^\circ.$ $B_{1}$ es el pie de la perpendicular de $B$ a $CO,$ $B_{2}$ es el pie de la perpendicular de $B_{1}$ a $AC.$ Similarmente, $C_{1}$ es el pie de la perpendicular de $C$ a $BO,$ $C_{2}$ es el pie de la perpendicular de $C_{1}$ a $AB.$ Las líneas $B_{1}B_{2}$ y $C_{1}C_{2}$ se intersecan en $A_{3}.$ Los puntos $B_{3}$ y $C_{3}$ se definen de la misma manera. Encuentra el circunradio del triángulo $A_{3}B_{3}C_{3}.$

En el plano se dan 100 líneas tales que no hay 2 paralelas y no hay 3 que se crucen en un punto. Los puntos de intersección están marcados. Luego se borran todas las líneas y k de los puntos marcados. Dados los puntos de intersección restantes, ¿para qué k máximo se pueden reconstruir las líneas?

¿Existe una secuencia $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ de números reales y un polinomio no constante $P(x)$ tal que $a_{m}+a_{n}=P(mn)$ para cada $m$ y $n$ enteros positivos?

Sea $ABCD$ un tetraedro y $O$ su incentro, y sea la línea $OD$ perpendicular a $AD$. Encuentre el ángulo entre los planos $DOB$ y $DOC.$

Sean $AA_1,BB_1, CC_1$ las alturas en un triángulo acutángulo $ABC$ , $K$ y $M$ son puntos en los segmentos de línea $A_1C_1$ y $B_1C_1$ respectivamente. Demuestre que si los ángulos $MAK$ y $CAA_1$ son iguales, entonces el ángulo $C_1KM$ es bisecado por $AK.$