La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:55 PM • 4 Y Y por pavel kozlov, aopsuser305, Adventure10, Mango247 Sea $k$ un entero positivo tal que $p = 8k + 5$ es un número primo. Los enteros $r_1, r_2, \dots, r_{2k+1}$ se eligen de tal manera que los números $0, r_1^4, r_2^4, \dots, r_{2k+1}^4$ den residuos distintos por pares módulo $p$. Demuestre que el producto \[\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant 2k+1} \big(r_i^4 + r_j^4\big)\] es congruente a $(-1)^{k(k+1)/2}$ módulo $p$. (Dos enteros son congruentes módulo $p$ si $p$ divide a su diferencia.) Fedor Petrov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:53 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Resuelva el sistema de ecuaciones en números reales: \[ \begin{cases*} (x - 1)(y - 1)(z - 1) = xyz - 1,\\ (x - 2)(y - 2)(z - 2) = xyz - 2.\\ \end{cases*} \] Vladimir Bragin Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:54 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo $\omega$ . Sea $PQ$ el diámetro de $\omega$ perpendicular a $AC$ . Suponga que las rectas $BP$ y $DQ$ se intersecan en el punto $X$ , y que las rectas $BQ$ y $DP$ se intersecan en el punto $Y$ . Demuestre que los puntos $X$ e $Y$ yacen sobre la recta $AC$ . Géza Kós Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. crazyeyemoody907 451 publicaciones crazyeyemoody907 #1 h 8 de julio de 2023, 10:34 PM • 6 Y Y por v4913, GeoKing, centslordm, Rounak_iitr, Funcshun840, farhad.fritl Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$ , y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de $\angle PBC$ y $\angle PCB$ , respectivamente, se cortan en $\overline{AH}$ . Sea $k$ la recta que corta a $\overline{AC}$ en $E$ , $\ell$ la recta que corta a $\overline{AB}$ en $F$ , y $\overline{EF}$ la recta que corta a $\overline{AH}$ en $Q$ . Demuestre que a medida que $P$ varía, la recta $PQ$ pasa por un punto fijo. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por crazyeyemoody907, 23 de septiembre de 2023, 7:55 PM Razón: E -> $E$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 780 publicaciones BR1F1SZ #1 h 7 de mar. de 2025, 2:20 p. m. • 1 Y Y por laf1234 Suponga que una progresión aritmética infinita y no constante de enteros contiene al $1$. Demuestre que hay un número infinito de cubos perfectos en esta progresión. (Un cubo perfecto es un entero de la forma $k^3$, donde $k$ es un entero. Por ejemplo, $-8$, $0$ y $1$ son cubos perfectos.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de nov. de 2004, 5:49 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, megarnie, Mango247 Un conjunto $ S$ de puntos del espacio se llamará completamente simétrico si tiene al menos tres elementos y cumple la condición de que para cada dos puntos distintos $ A$ y $ B$ de $ S$ , el plano mediatriz del segmento $ AB$ es un plano de simetría para $ S$ . Demuestre que si un conjunto completamente simétrico es finito, entonces consiste en los vértices de un polígono regular, un tetraedro regular o un octaedro regular. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 14 de nov. de 2004, 4:18 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 10:40 PM • 2 Y Y por Rounak_iitr, Amir Hossein Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$. ¿Podría darse el caso de que, para todo entero positivo $k$, $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 20 de junio de 2010, 12:38 PM • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario. Un rectángulo de $9\times 7$ está recubierto con baldosas de dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (pueden rotarse repetidamente $90^\circ$) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas de $2 \times 2$ que pueden utilizarse en dicho recubrimiento. Encuentre todos los valores de $n$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 9 de julio de 2020, 1:58 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo equilátero de área $1998$ cm $^2$. Los puntos $K, L, M$ dividen los segmentos $[AB], [BC], [CA]$, respectivamente, en la razón $3:4$. La recta $AL$ corta a las rectas $CK$ y $BM$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$, y la recta $BM$ corta a la recta $CK$ en el punto $R$. Encuentre el área del triángulo $PQR$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ACGNmath 330 publicaciones ACGNmath #1 h 24 de junio de 2023, 12:29 a. m. Y por Encuentre todos los enteros positivos $k$ tales que existen enteros positivos $a, b$ tales que \[a^2+4=(k^2-4)b^2.\] Z K Y