Sea $ABC$ un triángulo con $m (\angle C) = 90^\circ$ y los puntos $D \in [AC], E\in [BC]$. Dentro del triángulo construimos los semicírculos $C_1, C_2, C_3, C_4$ de diámetros $[AC], [BC], [CD], [CE]$ y sea $\{C, K\} = C_1 \cap C_2, \{C, M\} =C_3 \cap C_4, \{C, L\} = C_2 \cap C_3, \{C, N\} =C_1 \cap C_4$. Demuestra que los puntos $K, L, M, N$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $C$. Los círculos $C_1, C_2, C_3$ son tangentes internamente al círculo $C$ en $A_1, B_1, C_1$ y tangentes a los lados $[BC], [CA], [AB]$ en los puntos $A_2, B_2, C_2$ respectivamente, de modo que $A, A_1$ están en un lado de $BC$ y así sucesivamente. Las líneas $A_1A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ intersecan el círculo $C$ por segunda vez en los puntos $A', B'$ y $C'$, respectivamente. Si $ M = BB' \cap CC'$, demuestra que $m (\angle MAA') = 90^\circ$.

Sean $E, F$ dos puntos distintos dentro de un paralelogramo $ABCD$. Determina el máximo número posible de triángulos que tienen la misma área con tres vértices de los puntos $A, B, C, D, E, F$.

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Un círculo $C$ con centro en $A$ interseca a $C_1$ en $M$ y $P$ y a $C_2$ en $N$ y $Q$ de modo que $N$ y $Q$ están ubicados en lados diferentes con respecto a $MP$ y $AB> AM$. Demuestra que $\angle MBQ = \angle NBP$.

Una empresa tiene $n$ empleados. Se sabe que cada uno de los empleados trabaja al menos uno de los $7$ días de la semana, con la excepción de un empleado que no trabaja ninguno de los $7$ días. Además, para cualesquiera dos de estos $n$ empleados, hay al menos $3$ días de la semana en los que uno de los dos trabaja ese día y el otro no (no es necesariamente el mismo empleado quien trabaja esos días). Determinar el valor más alto posible de $n$ .

Sea $n$ un entero positivo. Encontrar todas las $n$ - filas $( a_1 , a_2 ,..., a_n )$ de enteros positivos diferentes tales que $$ \frac{(a_1 + d ) (a_2 + d ) \cdot\cdot\cdot ( a_n + d )}{a_1a_2\cdot \cdot \cdot a_n }$$ es entero para cada entero $d\ge 0$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC> AB$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $D$ el punto medio del arco más pequeño $BC$ de esta circunferencia. Sean $E$ y $F$ puntos de los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $AE = AF$ . Sea $P \neq A$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita a $AEF$ con $\Gamma$ . Sean $G$ y $H$ las intersecciones de las líneas $PE$ y $PF$ con $\Gamma$ distintas de $P$ , respectivamente. Sean $J$ y $K$ los puntos de intersección de las líneas $DG$ y $DH$ con las líneas $AB$ y $AC$ respectivamente. Demostrar que la línea $JK$ pasa por el punto medio de $BC$

Determinar todas las triples $\{a, b, c \}$ de enteros positivos coprimos (no necesariamente primos entre sí) tales que $a + b + c$ divide simultáneamente a los tres números $a^{12} + b^{12}+ c^{12}$ , $ a^{23} + b^{23} + c^{23} $ y $ a^{11004} + b^{11004} + c^{11004}$

Sea $P$ un punto fuera de una circunferencia $\Gamma$, y sea $PA$ una de las tangentes desde $P$ a $\Gamma$. La línea $l$ pasa por $P$ e intersecta a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $P$ y $C$. Sea $D$ el simétrico de $B$ con respecto a $P$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los círculos circunscritos a los triángulos $DAC$ y $PAB$ respectivamente. $\omega_1$ y $\omega _2$ se intersectan en $E \neq A$. La línea $EB$ corta de nuevo a $\omega _1 $ en $F$. Demostrar que $CF = AB$.

Determinar si existen $2018$ enteros positivos diferentes tales que la suma de sus cuadrados es un cubo perfecto y la suma de sus cubos es un cuadrado perfecto.