La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 9 de julio de 2020, 1:58 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo equilátero de área $1998$ cm $^2$. Los puntos $K, L, M$ dividen los segmentos $[AB], [BC], [CA]$, respectivamente, en la razón $3:4$. La recta $AL$ corta a las rectas $CK$ y $BM$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$, y la recta $BM$ corta a la recta $CK$ en el punto $R$. Encuentre el área del triángulo $PQR$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 20 de junio de 2010, 12:38 PM • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario. Un rectángulo de $9\times 7$ está recubierto con baldosas de dos tipos: baldosas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (pueden rotarse repetidamente $90^\circ$) y baldosas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de baldosas de $2 \times 2$ que pueden utilizarse en dicho recubrimiento. Encuentre todos los valores de $n$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:28 a. m. • 1 Y Y por mxsail Demuestre que el número $ \underbrace{88\dots8}_\text{2024\; \textrm{veces}}$ es divisible por 2024. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. CyclicISLscelesTrapezoid 388 publicaciones CyclicISLscelesTrapezoid #1 h 8 de julio de 2023, 10:40 PM • 2 Y Y por Rounak_iitr, Amir Hossein Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$. ¿Podría darse el caso de que, para todo entero positivo $k$, $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:26 a. m. • 2 Y Y por cubres, mxsail Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales positivos, tales que $a+b+c=xyz=1$. Demuestre que: $$ \frac{x^2}{3a+2}+\frac{y^2}{3b+2}+\frac{z^2}{3c+2} \ge 1 $$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función biyectiva y suponga que $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es una función tal que: Para todo natural $x$, $$\underbrace{f(\cdots (f}_{x^{2023}\;f\text{'s}}(x)))=x. $$ Para todo par de naturales $x,y$ tales que $x|y$, tenemos $f(x)|g(y)$. Demuestre que $f(x)=x$. Propuesto por Pulkit Sinha

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Marius_Avion_De_Vanatoare 97 publicaciones Marius_Avion_De_Vanatoare #1 h 10 de junio de 2024, 8:31 a. m. • 1 Y Y por mxsail Sea $M$ un conjunto de 999 puntos en el plano con la propiedad: Para cualesquiera 3 puntos distintos en $M$ podemos elegir dos de ellos, tales que la distancia entre ellos sea menor que $1$. a) Demuestre que existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 500 puntos en $M$. b) ¿Es cierto que siempre existe un disco de radio no mayor a 1 que cubre al menos 501 puntos en $M$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. 62861 3564 publicaciones 62861 #1 h 5 de sep. de 2018, 9:54 p. m. • 3 Y Y por aopsuser305, Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo $\omega$ . Sea $PQ$ el diámetro de $\omega$ perpendicular a $AC$ . Suponga que las rectas $BP$ y $DQ$ se intersecan en el punto $X$ , y que las rectas $BQ$ y $DP$ se intersecan en el punto $Y$ . Demuestre que los puntos $X$ e $Y$ yacen sobre la recta $AC$ . Géza Kós Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Ahiles 374 publicaciones Ahiles #1 h 20 de junio de 2010, 12:38 PM • 3 Y Y por huashiliao2020, Adventure10 y otro usuario más. Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones \[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\] Demuestre que $a + b + c + d \not = 0$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. IMO2018 62 publicaciones IMO2018 #1 h 9 de julio de 2014, 7:15 a. m. • 16 Y Y por codyj, rjiang16, Davi-8191, HWenslawski, TheHawk, Adventure10, Mango247, bin_sherlo, Rounak_iitr y otros 7 usuarios. Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general divide al plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear al menos $\sqrt{n}$ rectas de azul de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga un borde completamente azul. Nota: Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$. Z K Y