1 Una sucesión $\left(a_n\right)$ con $a_1 = 1$ satisface la siguiente recursión: en la expansión decimal de $a_n$ (sin ceros finales), sea $k$ el dígito más pequeño; entonces $a_{n+1} = a_n + 2^k.$ ¿Cuántos dígitos tiene $a_{9 \cdot 10^{2010}}$ en su expansión decimal?

2 Determine todos los $n \in \mathbb{Z}^+$ tales que un hexágono regular (es decir, todos los lados de igual longitud y todos los ángulos interiores del mismo tamaño) puede ser particionado en un número finito de $n-$ gonos que pueden componerse en $n$ hexágonos regulares congruentes de manera no superpuesta mediante ciertas rotaciones y traslaciones.

3 Sea $f$ cualquier función que aplica el conjunto de los números reales en el conjunto de los números reales. Demuestre que existen números reales $x$ e $y$ tales que \[f\left(x-f(y)\right)>yf(x)+x\] Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia

1 Para cualquier entero $n\geq 2$ , sea $N(n)$ el número máximo de ternas $(a_i, b_i, c_i)$ , $i=1, \ldots, N(n)$ , formadas por enteros no negativos $a_i$ , $b_i$ y $c_i$ tales que se satisfacen las dos condiciones siguientes: $a_i+b_i+c_i=n$ para todo $i=1, \ldots, N(n)$ ; si $i\neq j$ entonces $a_i\neq a_j$ , $b_i\neq b_j$ y $c_i\neq c_j$ . Determine $N(n)$ para todo $n\geq 2$ . Propuesto por Dan Schwarz, Rumanía

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $ab+bc+ca\leq 3abc$ . Demuestre que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{c+a}}+3\leq \sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\] Propuesto por Dzianis Pirshtuk, Bielorrusia

3 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existe una sucesión de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ que satisface: \[a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1\] para todo $k$ con $2\leq k\leq n-1$ . Propuesto por Corea del Norte

1 En el plano consideramos rectángulos cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas y tienen longitud positiva. Tal rectángulo será llamado una caja . Dos cajas se intersecan si tienen un punto común en su interior o en su frontera. Halle el mayor $ n$ para el cual existen $ n$ cajas $ B_1$ , $ \ldots$ , $ B_n$ tales que $ B_i$ y $ B_j$ se intersecan si y solo si $ i\not\equiv j\pm 1\pmod n$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

2 Sean $ k$ y $ n$ enteros con $ 0\le k\le n - 2$ . Considere un conjunto $ L$ de $ n$ rectas en el plano tal que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres con un punto común. Denote por $ I$ el conjunto de las intersecciones de las rectas de $ L$ . Sea $ O$ un punto del plano que no está sobre ninguna recta de $ L$ . Un punto $ X\in I$ se colorea de rojo si el segmento de recta abierto $ OX$ interseca a lo sumo $ k$ rectas de $ L$ . Demuestre que $ I$ contiene al menos $ \dfrac{1}{2}(k + 1)(k + 2)$ puntos rojos. Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

3 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ números reales positivos tales que $ abcd = 1$ y $ a + b + c + d > \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{a}$ . Demuestre que \[ a + b + c + d < \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{d}{c} + \dfrac{a}{d}\] Propuesto por Pavel Novotný, Eslovaquia

1 Dado un trapecio $ ABCD$ con lados paralelos $ AB$ y $ CD$ , suponga que existen puntos $ E$ sobre la recta $ BC$ fuera del segmento $ BC$ , y $ F$ dentro del segmento $ AD$ tales que $ \angle DAE = \angle CBF$ . Denote por $ I$ el punto de intersección de $ CD$ y $ EF$ , y por $ J$ el punto de intersección de $ AB$ y $ EF$ . Sea $ K$ el punto medio del segmento $ EF$ ; suponga que no se encuentra sobre la recta $ AB$ . Demuestre que $ I$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ ABK$ si y solo si $ K$ pertenece a la circunferencia circunscrita de $ CDJ$ . Propuesto por Charles Leytem, Luxemburgo