Un tablero $n\times n$ está coloreado en blanco y negro como un tablero de ajedrez. Se pueden realizar los siguientes pasos: Elegir un rectángulo dentro del tablero (formado por casillas enteras) cuyas longitudes de los lados sean ambas impares o ambas pares, pero no ambas iguales a $1$, e invertir los colores de todas las casillas dentro del rectángulo. Determina los valores de $n$ para los que es posible hacer que todas las celdas tengan el mismo color en un número finito de dichos pasos.

Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, el conjunto $A'$ se compone de los elementos de $A$ y de todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera: Se escriben algunos elementos de $A$ uno tras otro sin repetir, se escribe un signo $+ $ o $-$ antes de cada uno de ellos, y se evalúa la expresión obtenida. El resultado se incluye en $A'$. Por ejemplo, si $A = \{2,8,13,20\}$, los números $8$ y $14 = 20-2+8$ son elementos de $A'$. El conjunto $A''$ se construye a partir de $A'$ de la misma manera. Halla el menor número posible de elementos de $A$, si $A''$ contiene todos los enteros de $1$ a $40$.

Sean $a,b,c,d$ numeros reales tales que $b-d\geq 5$ y tal que las raices $x_1,x_2,x_3,x_4$ del polinomio $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ son todas reales. Encuentra el minimo valor posible del producto $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1).$$

Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4+n^2+1$ es el mayor divisor primo de $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Sea $P(X)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coefficientes no negativos. Sean $a,b,c$ lados de un triangulo, demuestra que $\sqrt[n]{P(a)}, \sqrt[n]{P(b)}, \sqrt[n]{P(c)}$ tambien son lados de un triangulo.

El polinomio $P(x)$ es tal que $P(P(x))$ (y $P(P(P(x)))$ ) es estrictamente monotonico en todos los reales. Demuestra que $P(x)$ tambien debe serlo.

Elmo llama "delicioso" a un polinomio monico si todos sus coeficientes estan en el rango $[-1,1]$. Un polinomio monico $P$ con coeficientes reales y raices compleja $\chi_1,\ldots, \chi_m$ (con multiplicidad) se le da a Elmo, y descubre que no existe un polinomio monico $Q$ con coeficientes reales tal que $PQ$ sea delicioso. Encuentra todos los posibles valores de $\max (|\chi_1|,\ldots, |\chi_m|)$.

Determina todos los conjuntos de enteros positivos $\{a_1,\ldots, a_n\}$ tales que $$a_1a_2\cdots a_n\mid (x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ para todo entero positivo $x$.

Decimos que un entero positivo $n$ es $d-$cubrible si para cualquier subconjunto $S\subset \{0,1,\ldots, n-1\}$ existe un polinomio $P$ de grado a lo mucho $d$ tal que las congruencias modulo $n$ de $P$ son exactamente $S$. Para cada $n$ determina cual es la minima $d$ tal que $n$ es $d-$cubrible o si no existe tal $d$.