Existen circunferencias $A,B,C,D$ en el plano tales que las circunferencias $A$ y $B$ son tangentes externamente en $P, B$ y $C$ en $Q, C$ y $D$ en $R$, y $D$ y $A$ en $S$. Las circunferencias $A$ y $C$ no se encuentran, ni tampoco $B$ y $D$. Muestra que los puntos $P,Q,R,S$ se encuentran en una misma circunferencia. Supongamos que $A$ y $C$ tienen radio $2, B$ y $D$ tienen radio $3$, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es $6$. Calcula el área del cuadrilátero $PQRS$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB\lt AC$ y el ángulo $\angle BAC$ es el doble del ángulo $\angle BCA$. EN el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD=AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $\ell$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $\ell$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por el punto $C$ intersecta a $\ell$ en el punto $N$. Muestra que $MD=ND$.

Se tienen algunas pelotas de colores (son por lo menos tres colores), y por lo menos tres cajas. Las pelotas se ponen en las cajas de manera que no quede vacía ninguna caja y que no haya tres pelotas de colores distintos que estén en tres cajas distintas. Muestra que hay una caja tal que todas las pelotas que están fuera de ella son del mismo color.

En un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia llamemos $P$ al punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $M$ el punto medio de $CD$. Una circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$ corta a $BD$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$, respectivamente. Se toma un punto $S$ en el segmento $BD$ de tal manera que $BS=DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Muestra que $AT=RC$.

Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1,2,3,\dots,n$ (tiene muchas monedas de cada denominación). Desea poner algunas de sus monedas en $5$ cajas de manera que se cumplan las siguientes condiciones: a) En cada caja hay a lo más una moneda de cada denominación. b) Todas las cajas tienen el mismo número de monedas y la misma cantidad de dinero. c) Para cualesquiera dos cajas sucede que entre las dos tienen por lo menos una moneda de cada denominación. d) No existe una denominación tal que todas las cajas tengan una moneda de esta denominación ¿Para qué valores de $n$ puede el coleccionista hacer lo que se propone?

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$ se forma una lista de $2001$ números enteros como sigue: El primer número es $a$; a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir el cuadrado del anterior entre $n$. A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$ alternadamente empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$. ¿Para qué números enteros $n\geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2\leq a \leq \frac{n}{2}$ y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos y $S=a+b+c+d+e+f$. Supon que $S\mid abc+def$ y $S\mid ab+bc+ca-de-ef-fd$. Demuestra que $S$ es un numero compuesto.

Se construye un triángulo de números de la siguiente manera. La primera fila está formada por los números de $1$ a $2000$ en orden creciente, y debajo de dos números consecutivos cualesquiera se escribe su suma. ¿Cuál es el número de la última fila?

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > 90^o$ tal que existe un punto $H$ en el lado $AC$ con $AH = BH$ y $BH$ perpendicular a $BC$. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ paralela a $AB$ corta a $DE$ en $F$. Muestra que $\angle BCF = \angle ACD$.

Un tablero $n\times n$ está coloreado en blanco y negro como un tablero de ajedrez. Se pueden realizar los siguientes pasos: Elegir un rectángulo dentro del tablero (formado por casillas enteras) cuyas longitudes de los lados sean ambas impares o ambas pares, pero no ambas iguales a $1$, e invertir los colores de todas las casillas dentro del rectángulo. Determina los valores de $n$ para los que es posible hacer que todas las celdas tengan el mismo color en un número finito de dichos pasos.