8 a) Calcule el producto $$\left(1+\frac{1}{2}\right) \left(1+\frac{1}{3}\right) \left(1+\frac{1}{4}\right)... \left(1+\frac{1}{2006}\right) \left(1+\frac{1}{2007}\right)$$ b) Sea el conjunto $$A =\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{1}{4}, ...,\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}\right\}$$ Determine la suma de todos los productos de $2$ , de $4$ , de $6$ , ... , de $2004$ y de $ 2006$ elementos distintos del conjunto $A$ .

1 Cinco segmentos tienen longitudes tales que cualesquiera tres de ellos pueden ser lados de un triángulo —posiblemente degenerado—. Además, las longitudes de estos segmentos son no nulas y distintas dos a dos. Demuestre que entre estos triángulos existe al menos un triángulo acutángulo.

2 Demuestre que hay infinitos números de la forma $18^{m}+45^{m}+50^{m}+125^{m}$ divisibles por 2006. $m\in N$

3 El polígono convexo $A_{1}A_{2}\ldots A_{2006}$ tiene los lados opuestos paralelos $(A_{1}A_{2}||A_{1004}A_{1005}, \ldots)$ . Demuestre que las diagonales $A_{1}A_{1004}, A_{2}A_{1005}, \ldots A_{1003}A_{2006}$ son concurrentes si y solo si los lados opuestos son iguales.

4 Sea $n$ un entero positivo, $n\geq 4$ . Se colocan $n$ tarjetas en un círculo y en cada una de ellas está escrito el número $1$ o $-1$ . En una $question$ podemos averiguar el producto de los números de cualesquiera $3$ tarjetas. ¿Cuál es el número mínimo de preguntas necesarias para averiguar el producto de todos los $n$ números?

1 Sea el número $x$ . Usando las operaciones de multiplicación y división de cualesquiera 2 números dados o ya obtenidos podemos obtener potencias con exponente natural del número $x$ (por ejemplo, $x\cdot x=x^{2}$ , $x^{2}\cdot x^{2}=x^{4}$ , $x^{4}: x=x^{3}$ , etc.). Determine el número mínimo de operaciones necesario para calcular $x^{2006}$ .

2 Sea $ABCD$ un rectángulo y denotemos por $M$ y $N$ los puntos medios de $AD$ y $BC$ respectivamente. El punto $P$ está en $(CD$ tal que $D\in (CP)$ , y $PM$ interseca a $AC$ en $Q$ . Demuestre que $m(\angle{MNQ})=m(\angle{MNP})$ .

3 Determine todos los polinomios de segundo grado con coeficientes enteros de la forma $P(X)=aX^{2}+bX+c$ que satisfacen: $P(a)=b$ , $P(b)=a$ , con $a\neq b$ .

1 Si $\mid ax^2+bx+c \mid \leq 1$ para todo $x \in [-1,1]$ , demuestre que: $a)$ $\mid c \mid \leq 1$ $b)$ $\mid a+c \mid \leq 1$ $c)$ $a^2+b^2+c^2 \leq 5$

4 Determine todas las soluciones reales de la ecuación: \[{ \frac{x^{2}}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}}}=\frac{x-1}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}} . \]