En una cuadrícula de $32\times 32$ se escriben los números del $1$ al $1024$ de izquierda a derecha, con los números del $1$ al $32$ en el primer renglón, los del $33$ al $64$ en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de $16\times 16$: Estas cuadrículas se cambian de lugar entre sí, y queda el siguiente arreglo: \[\begin{vmatrix}A&B\\D&C\end{vmatrix}\to\begin{vmatrix}D&A\\B&C\end{vmatrix}\] Después, cada cuadrícula de $16\times 16$ se divide en cuatro cuadrículas de $8\times 8$ que se cambian de lugar del mismo modo; a su vez cada una de esas se divide y así sucesivamente hasta llegar a cuadrículas de $2\times 2$ que se dividen en cuadros de $1\times 1$, los cuales se cambian de lugar del mismo modo. Al terminar estas operaciones, ¿qué números quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadrícula de $32\times 32$?

Dado un número entero $n$, un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ o $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$, como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.

Dado un número entero $k$ de dos o más cifras, se forma otro número entero $m$ insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.

Alrededor de una mesa circular sobre la que hay $28$ floreros se sientan $12$ personas. Dos personas pueden verse si y sólo si no hay ningún florero alineado con ellas. Probar que existen al menos dos personas que pueden verse.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AD$ paralelo a $BC$, los ángulos en $A$ y $B$ rectos y con el ángulo $\angle CMD$ recto, donde $M$ es el punto medio de $AB$. Sean $K$ el pie de la perpendicular a $CD$ que pasa por $M$, $P$ el punto medio de intersección de $AK$ con $BD$ y $Q$ el punto de intersección de $BK$ con $AC$. Muestra que el ángulo $\angle AKB$ es recto y que $\frac{KP}{PA} + \frac{KQ}{QB}=1$.

Encuentra todos los números enteros de $7$ dígitos que son múltiplos de $3$ y de $7$, y cada uno de cuyos dígitos es $3$ o $7$.

Tres números enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $n$, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $n$. Para cada terna compatible de números entre $1$ y $2002$ se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene suma máxima?

Una ficha de dominó tiene dos números (que pueden ser iguales) entre $0$ y $6$. Las fichas se pueden voltear, es decir, $\boxed 4\boxed 5$ es la misma ficha que $\boxed 5\boxed 4$. Se quiere formar una hilera de fichas de dominó distintas de manera que en cada momento de la construcción de la hilera, la suma de todos los números de fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos lados de la hilera, es decir, de manera que en cualesquiera dos fichas consecutivas aparezca el mismo número en los extremos que se juntan. Por ejemplo, se podría hacer la hilera: $\boxed 1\boxed 3$, $\boxed 3\boxed 4$, $\boxed 4\boxed 4$, en la que se colocó primero la ficha del centro y luego la de la izquierda para mantener la suma impar. ¿Cuál es la mayor cantidad de fichas que de pueden colocar en una hilera? ¿Cuántas hileras de esa longitud máxima se pueden construir?

Sea $n$ un entero positivo. Entre los divisores positivos de $n^2$, ¿Hay más de la forma $4k+1$ o $4k-1$?

Sea $ABCD$ un paralelogramo y $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABD$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $\Gamma$ con los lados $BC$ y $CD$ (o sus prolongaciones), respectivamente. Muestra que el circuncentro del triángulo $CEF$ está en $\Gamma$.