7. El punto \(B\) está sobre \(\overline{AC}\) con \(AB = 9\) y \(BC = 21\). El punto \(D\) no está sobre \(\overline{AC}\) de modo que \(AD = CD\), y \(AD\) y \(BD\) son enteros. Sea \(s\) la suma de todos los perímetros posibles de \(\triangle ACD\). Encuentra \(s\).

8 En una secuencia creciente de cuatro enteros positivos, los primeros tres términos forman una progresión aritmética, los últimos tres términos forman una progresión geométrica, y el primer y cuarto término difieren en 30. Encuentra la suma de los cuatro términos.

Los miembros de un distinguido comité estaban eligiendo a un presidente, y cada miembro dio un voto a uno de los $27$ candidatos. Para cada candidato, el porcentaje exacto de votos que obtuvo fue menor en al menos $1$ que el número de votos para ese candidato. ¿Cuál es el número más pequeño posible de miembros del comité?

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con $AC=7,$ $BC=24,$ y el ángulo recto en $C.$ El punto $M$ es el punto medio de $AB,$ y $D$ está en el mismo lado de la recta $AB$ que $C$ de modo que $AD=BD=15.$ Dado que el área del triángulo $CDM$ puede expresarse como $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $m+n+p.$

13 Un insecto comienza en un vértice de un triángulo equilátero. En cada movimiento, elige al azar uno de los dos vértices en los que no se encuentra actualmente, y se arrastra por un lado del triángulo hasta ese vértice. Dado que la probabilidad de que el insecto se mueva a su vértice inicial en su décimo movimiento es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n.$

4 En un tetraedro regular, los centros de las cuatro caras son los vértices de un tetraedro más pequeño. La razón del volumen del tetraedro más pequeño al del más grande es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

2 El diagrama muestra veinte círculos congruentes dispuestos en tres filas y encerrados en un rectángulo. Los círculos son tangentes entre sí y a los lados del rectángulo como se muestra en el diagrama. La razón de la dimensión más larga del rectángulo a la más corta se puede escribir como $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p}-q\right),$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Encuentra $p+q.$ [asy] size(250);real x=sqrt(3); int i; draw(origin--(14,0)--(14,2+2x)--(0,2+2x)--cycle); for(i=0; i<7; i=i+1) { draw(Circle((2*i+1,1), 1)^^Circle((2*i+1,1+2x), 1)); } for(i=0; i<6; i=i+1) { draw(Circle((2*i+2,1+x), 1)); }[/asy]

3 Jane tiene 25 años. Dick es mayor que Jane. En $n$ años, donde $n$ es un entero positivo, la edad de Dick y la edad de Jane serán ambas números de dos dígitos y tendrán la propiedad de que la edad de Jane se obtiene intercambiando los dígitos de la edad de Dick. Sea $d$ la edad actual de Dick. ¿Cuántos pares ordenados de enteros positivos $(d,n)$ son posibles?

7 La expansión binomial es válida para exponentes que no son enteros. Es decir, para todos los números reales $ x, y,$ y $ r$ con $ |x| > |y|,$ \[ (x + y)^r = x^r + rx^{r - 1}y + \frac {r(r - 1)}2x^{r - 2}y^2 + \frac {r(r - 1)(r - 2)}{3!}x^{r - 3}y^3 + \cdots \] ¿Cuáles son los primeros tres dígitos a la derecha del punto decimal en la representación decimal de $ \left(10^{2002} + 1\right)^{10/7}?$

5 Sean $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}$ los vértices de un dodecágono regular. ¿Cuántos cuadrados distintos en el plano del dodecágono tienen al menos dos vértices en el conjunto $\{A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}\}?$