Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La circunferencia $\omega$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente a la circunferencia $\Omega$ en el punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que corta el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demuestra que $\angle ACP = \angle QCB$.

Un conjunto $A$ de enteros se denomina de "suma completa" si $A\subseteq A+A$, es decir, cada elemento $a\in A$ es la suma de algún par de elementos $b,c \in A$ (no necesariamente diferentes). Se dice que un conjunto $A$ de enteros es "libre de suma cero" si $0$ es el único entero que no puede expresarse como la suma de los elementos de un subconjunto finito no vacío de $A$. ¿Existe un conjunto de suma completa libre de suma cero?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ en el otro lado de $BC$ desde $A$. Sea $L$ la reflexión de $K$ en la recta $AB$, y sea $M$ la reflexión de $K$ en la recta $BC$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia del triángulo $BLM$. Demuestra que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes.

Los números $p$ y $q$ son primos y satisfacen \[\frac{p}{{p + 1}} + \frac{{q + 1}}{q} = \frac{{2n}}{{n + 2}}\] para algún entero positivo $n$. Encontrar todos los valores posibles de $q-p$.

Hay infinitas personas registradas en la red social Mugbook. Algunas parejas de usuarios (diferentes) están registradas como amigos, pero cada persona sólo tiene un número finito de amigos. Cada usuario tiene al menos un amigo. (La amistad es mutua; es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$). Cada persona debe designar a uno de sus amigos como su mejor amigo. Si $A$ designa a $B$ como su mejor amigo, entonces (por desgracia) no se deduce que $B$ designe necesariamente a $A$ como su mejor amigo. A alguien designado como mejor amigo se le llama mejor amigo $1$. En términos más generales, si $n\gt 1$ es un número entero positivo, entonces un usuario es un $n$-mejor amigo siempre que haya sido designado como mejor amigo de alguien que sea un $(n-1)$-mejor amigo. Alguien que es un $k$-mejor amigo para cada entero positivo $k$ se llama popular. (a) Demuestre que toda persona popular es el mejor amigo de una persona popular. (b) Demuestre que si la gente puede tener infinitos amigos, entonces es posible que una persona popular no sea el mejor amigo de una persona popular.

Una palabra es una secuencia finita de letras de algún alfabeto. Una palabra es repetitiva si es una concatenación de al menos dos subpalabras idénticas (por ejemplo, $ababab$ y $abcabc$ son repetitivas, pero $ababa$ y $aabb$ no lo son). Demuestra que si una palabra tiene la propiedad de que el intercambio de cualesquiera dos letras adyacentes hace que la palabra sea repetitiva, entonces todas sus letras son idénticas.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}=\frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. \nMuestra que la longitud de $MN$ depende únicamente de las longitudes de $AB$ y $CD$, y calcula su valor.

Dado un número entero $k$ de dos o más cifras, se forma otro número entero $m$ insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $\mathcal{Y}$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, sean $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ el punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{Y}$ y $\mathcal{Z}$. Supón que la recta $PQ$ corta a $\mathcal{X}$ en un punto $R$ distinto de $P$ y que esta misma recta $PQ$ corta a $\mathcal{Z}$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Muestra que concurren $AR,$ $CS$ y la tangente común a $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ por $B$.

En una cuadrícula de $32\times 32$ se escriben los números del $1$ al $1024$ de izquierda a derecha, con los números del $1$ al $32$ en el primer renglón, los del $33$ al $64$ en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de $16\times 16$: Estas cuadrículas se cambian de lugar entre sí, y queda el siguiente arreglo: \[\begin{vmatrix}A&B\\D&C\end{vmatrix}\to\begin{vmatrix}D&A\\B&C\end{vmatrix}\] Después, cada cuadrícula de $16\times 16$ se divide en cuatro cuadrículas de $8\times 8$ que se cambian de lugar del mismo modo; a su vez cada una de esas se divide y así sucesivamente hasta llegar a cuadrículas de $2\times 2$ que se dividen en cuadros de $1\times 1$, los cuales se cambian de lugar del mismo modo. Al terminar estas operaciones, ¿qué números quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadrícula de $32\times 32$?