1 Demuestre que para todo entero positivo n, existe un polinomio p(x) con coeficientes enteros tal que p(1), p(2),..., p(n-1), p(n) son potencias de 2 distintas.

2 Sea $S= \{ a_1, \ldots, a_n\}$ un conjunto de $n\geq 1$ números reales positivos. Para cada subconjunto no vacío de $S$ se escribe la suma de sus elementos. Demuestre que todos los números escritos pueden dividirse en $n$ clases tal que en cada clase la razón entre el mayor número y el menor no sea mayor que $2$ .

3 Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia $G$ . Para cualquier punto $M$ interior al triángulo, $A_1$ denota la intersección del rayo $AM$ con $G$ . Halle el lugar geométrico del punto $M$ para el cual $\frac{BM\cdot CM}{MA_1}$ es mínimo, y halle este valor mínimo.

4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros para el cual existe un entero positivo n tal que las partes reales de todas las raíces de $P(x)$ son menores que $n- \frac{1}{2}$ , el polinomio $x-n+1$ no divide a $P(x)$ , y $P(n)$ es un número primo. Demuestre que el polinomio $P(x)$ es irreducible (sobre $Z[x]$ ) .

1 El número $n{}$ contiene $k{}$ unidades en el sistema binario. Demuestre que $2^{n-k}{}$ divide a $n!$ .

2 Las circunferencias $S_1{}$ y $S_2{}$ se intersecan en $M{}$ y $N{}$ . La recta $l$ interseca a las circunferencias en los puntos $A,B\in S_1$ y $C,D\in S_2$ . Demuestre que $\angle AMC=\angle BND$ y $\angle ANC=\angle BMD$ si el orden de los puntos sobre la recta $l$ es: a) $A,C,B,D;\quad$ b) $A,C,D,B.$

3 En el triángulo $ABC$ las medianas trazadas desde $B$ y $C$ son perpendiculares. Demuestre que $\frac{\sin(B+C)}{\sin B \cdot \sin C} \geq \frac{2}{3}.$

4 Sea $f: (0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ una función que satisface la siguiente condición: para cualesquiera números reales positivos $x$ y $y$ , se tiene $f(xy)\le f(x)f(y)$ . Demuestre que para cualquier número real positivo $x$ y número natural $n$ , se cumple la desigualdad $f(x^n)\le f(x)f(x^2)^{\dfrac{1}{2}}\dots f(x^n)^{\dfrac{1}{n}}$ .

5 Halle todos los polinomios $P(X)$ de cuarto grado con coeficientes reales que verifican las propiedades: a) $P(-x)=P(x), \forall x\in\mathbb{R};$ b) $P(x)\geq0, \forall x\in\mathbb{R};$ c) $P(0)=1;$ d) $P(X)$ tiene exactamente dos mínimos locales $x_1$ y $x_2$ tales que $|x_1-x_2|=2.$

6 En el triángulo $ABC$ el ángulo $C$ es obtuso, $m(\angle A)=2m(\angle B)$ y las longitudes de los lados son enteras. Halle el menor perímetro posible de este triángulo.