Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, y tales que $DB = BC = CE$. Sean $F$ el punto de intersección de las rectas $CD$ y $BE$, $I$ el incentro del triángulo $ABC$, $H$ el ortocentro del triángulo $DEF$ y $M$ el punto medio del arco $BAC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $I$, $H$ y $M$ son colineales.

El lado $BC$ del triángulo $ABC$ se prolonga más allá de $C$ hasta $D$ de modo que $CD = BC$. El lado $CA$ se prolonga más allá de $A$ hasta $E$ de modo que $AE = 2CA$. Demostrar que, si $AD=BE$, el triángulo $ABC$ es rectángulo.

Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ para los cuales existen enteros $x_1, x_2, \dots , x_{n-1}$ que satisfacen la siguiente condición: si $0 \lt i \lt n$, $0 \lt j \lt n$ con $i \neq j$ y $2i + j $ divisible entre $n$, entonces $x_i \lt x_j$.

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[f (y^2 + 2xf (y) + f (x)^2) = (y + f (x))(x + f (y))\] para todos números reales $x$ y $y$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D,E,F$ se encuentran en los interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. (Por interior entendemos, por ejemplo, que el punto $D$ se encuentra en la recta $BC$ y $D$ está entre $B$ y $C$ en dicha recta). Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demuestra que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el mayor entero posible $m$, en términos de $n$, con la siguiente propiedad: una cuadrícula con $m$ filas y $n$ columnas puede llenarse con números reales de tal manera que para dos filas diferentes $\left[ {{a_1},{a_2},\ldots,{a_n}}\right]$ y $\left[ {{b_1},{b_2},\ldots,{b_n}} \right]$ se cumple que $$\max\left( {\left| {{a_1} - {b_1}} \right|,\left| {{a_2} - {b_2}} \right|,...,\left| {{a_n} - {b_n}} \right|} \right) = 1.$$

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f\left( {yf(x + y) + f(x)} \right) = 4x + 2yf(x + y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}$.

Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ para los que hay tres enteros consecutivos en los que el polinomio \[ P(n) = \frac{n^5+a}{b} \] toma valores enteros.

Blancanieves y los siete enanos viven en su casa del bosque. En cada uno de $16$ días consecutivos, algunos de los enanos trabajaron en la mina de diamantes mientras los restantes recogían bayas en el bosque. Ningún enano realizó ambos tipos de trabajo el mismo día. En dos días diferentes (no necesariamente consecutivos), al menos tres enanos realizaron cada uno ambos tipos de trabajo. Además, el primer día, los siete enanos trabajaron en la mina de diamantes. Demuestra que, en uno de estos $16$ días, los siete enanos estuvieron recogiendo bayas.

Sea $n$ un entero positivo. (a) Demuestra que existe un conjunto $S$ de $6n$ enteros positivos diferentes entre sí, tal que el mínimo común múltiplo de dos elementos cualesquiera de $S$ no es mayor que $32n^2$. (b) Demuestra que todo conjunto $T$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares contiene dos elementos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.