2 El punto \(P\) yace sobre el lado \(CD\) del cuadrilátero cíclico \(ABCD\) tal que \(\angle CBP = 90^{\circ}\). Sea \(K\) la intersección de \(AC\) y \(BP\) tal que \(AK = AP = AD\). \(H\) es la proyección de \(B\) sobre la recta \(AC\). Demuestra que \(\angle APH = 90^{\circ}\). Propuesto por Iman Maghsoudi - Irán Shayan-TayefehIR

En el triángulo $\bigtriangleup ABC$, sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, y sean $I$, $I_A$, $I_C$ el incentro, el excentro opuesto a $A$ y el excentro opuesto a $C$, respectivamente. Denota por $P\neq B$ y $Q\neq D$ los otros puntos de intersección del círculo $\bigtriangleup BDI_C$ con las rectas $BI$ y $DI_A$, respectivamente. Demuestra que $AP=AQ$.

4 Punto $P$ está dentro del triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$ tal que $\angle BPC=90^{\circ}$ y $\angle BAP=\angle PAC$ . Sea $D$ la proyección de $P$ sobre el lado $BC$ . Sean $M$ y $N$ los incentros de los triángulos $\bigtriangleup ABD$ y $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero $BMNC$ es cíclico. Propuesto por Hussein Khayou - Siria Shayan-TayefehIR

5 Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $E$ un punto fijo sobre el segmento $AC$. $M$ es un punto arbitrario sobre $\omega$, las rectas $AM$ y $BD$ se cortan en un punto $P$. $EP$ corta a $AB$ y $AD$ en los puntos $R$ y $Q$, respectivamente, $S$ es la intersección de $BQ,DR$ y las rectas $MS$ y $AC$ se cortan en un punto $T$. Demuestra que al variar $M$, la circunferencia circunscrita del triángulo $\bigtriangleup CMT$ pasa por un punto fijo distinto de $C$. Propuesto por Chunlai Jin - China Shayan-TayefehIR

3 Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ abc=\frac{9}{4}$ . Demuestre la desigualdad: $ a^3 + b^3 + c^3 > a\sqrt {b + c} + b\sqrt {c + a} + c\sqrt {a + b}$ Variante del jurado: Demuestre lo mismo, pero con $ abc=2$

5 Sean $ a,b,c$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad: $ \frac {a^3}{b^2} + \frac {b^3}{c^2} + \frac {c^3}{a^2}\ge \frac {a^2}{b} + \frac {b^2}{c} + \frac {c^2}{a}$

6 Sean $ a_1,a_2,...,a_6$ números reales tales que: $ a_1 \not = 0, a_1a_6 + a_3 + a_4 = 2a_2a_5 \ \mathrm{and}\ a_1a_3 \ge a_2^2$ Demuestre que $ a_4a_6\le a_5^2$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

7 Considere enteros $ a_i,i=\overline{1,2002}$ tales que $ a_1^{ - 3} + a_2^{ - 3} + \ldots + a_{2002}^{ - 3} = \frac {1}{2}$ Demuestre que al menos 3 de los números son iguales.

8 Sea $ ABC$ un triángulo con baricentro $ G$ y sean $ A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $ BC,CA,AB$ . Una paralela por $ A_1$ a $ BB_1$ interseca a $ B_1C_1$ en $ F$ . Demuestre que los triángulos $ ABC$ y $ FA_1A$ son semejantes si y solo si el cuadrilátero $ AB_1GC_1$ es cíclico.

1 Halle todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación \[2^x + 3^y = z^2 .\] Amir