Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $ ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45^{\circ}$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2 + 1, n^2 + 2, \dots, n^2 + 2n\}$. Demuestra que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5$ y $7m + 6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m + 3$ y $7m + 4,$ para $m$ entero.

Sea $n$ un entero positivo. Se tienen $n$ cajas y cada caja contiene un número no negativo de fıchas. Un movimiento consiste en tomar dos fıchas de una de las cajas, dejar una fuera de las cajas y poner la otra en otra caja. Decimos que una configuración de fıchas es resoluble si es posible aplicar un número finito de movimientos (que puede ser igual a cero) para obtener una configuración en la que no haya cajas vacías. Determina todas las configuraciones iniciales de fıchas que no son resolubles y se vuelven resolubles al agregar una fıcha en cualquiera de las cajas (sin importar en cual caja se pone la fıcha).

Sea $H$ el ortocentro y $G$ el gravicentro del triángulo acutángulo $\bigtriangleup ABC$, con $AB \neq AC$. La línea $AG$ intersecta al circuncírculo de $\bigtriangleup ABC$ en $A$ y en $P$. Sea $P'$ la reflexión de $P$ sobre la línea $BC$. Demuestra que $\angle CAB = 60^{\circ}$ si y solo si $HG = GP'$.

Determina si existe una sucesión infinita $a_1, a_2, a_3, \dots$ de enteros positivos que satisface la igualdad\n\[a_{n+2}=a_{n+1}+\sqrt{a_{n+1}+a_{n}} \]\npara todo entero positivo $n$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m \gt 1$. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1, 2, \dots , 2m$ en $m$ parejas. Luego Boris escoge un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a $n$.

Sean $n$ y $m$ enteros mayores a $1$, y sean $a_1, a_2, \dots , a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_m$ menores o iguales a $n$, tales que \[mcd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_m + b_m) \lt n.\]

Determina todos los números reales t tales que si $a$, $b$, $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado, entonces $a^2 + bct, b^2 + cat, c^2 + abt$ son también las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado.

Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$, respectivamente, y tales que $DB = BC = CE$. Sean $F$ el punto de intersección de las rectas $CD$ y $BE$, $I$ el incentro del triángulo $ABC$, $H$ el ortocentro del triángulo $DEF$ y $M$ el punto medio del arco $BAC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$. Demuestra que $I$, $H$ y $M$ son colineales.

Determina todos los enteros $m$ para los que el cuadrado $m \times m$ se puede diseccionar en cinco rectángulos, cuyas longitudes de los lados son los enteros $1,2,3,\ldots,10$ en algún orden.