Dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ del mismo radio se intersecan en dos puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Se considera una circunferencia $\omega$ tangente exteriormente a $\omega_1$ en un punto $T_1$, y tangente interiormente a $\omega_2$ en un punto $T_2$. Demuestra que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que pertenece a $\omega$.

Sea ABC un triángulo acutángulo que no tiene dos lados con la misma longitud. Las reflexiones del gravicentro $G$ y el circuncentro $O$ de $ABC$ con respecto a los lados $BC$, $CA$, $AB$ se denotan como $G_1, G_2, G_3$, y $O_1, O_2, O_3$, respectivamente. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $G_1G_2C, G_1G_3B, G_2G_3A, O_1O_2C, O_1O_3B, O_2O_3A$ y $ABC$ tienen un punto en común.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y $X$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersecan en $Y$ , la recta $MY$ interseca a las diagonales $AC$ y $BD$ en dos puntos distintos, que llamamos respectivamente $E$ y $F$. Demuestra que la recta $XY$ es tangente a la circunferencia que pasa por $E$, $F$ y $X$.

Sea $n \ge 2$ un entero. Una $n$-tupla $(a_1, a_2, \dots , a_n)$ de enteros positivos no necesariamente distintos es costosa si existe un entero positivo $k$ tal que \[(a_1+a_2)(a_2+a_3)\dots(a_{n-1}+a_n)(a_n+a_1)=2^{2k-1}.\] a) Encuentra todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe una $n$-tupla costosa. b) Demuestra que para todo entero positivo impar $m$ existe un entero $n \geq 2$ tal que $m$ pertenece a una $n$-tupla costosa.

(a) Demuestra que para todo número real $t$ tal que $0 \lt t \lt \frac12$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propriedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos distintos $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ tal que $\left|x - my\right| \leq ty.$ (b) Determina si para todo número real $t$ con $0 \lt t \lt \frac12$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que $\left|x - my\right| \gt ty$ para todo par de elementos distintos $x$ e $y$ de $S$ y para todo entero positivo $m$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que cumple que $\angle DAB = \angle BCD = 90^{\circ}$ y $\angle ABC \gt \angle CDA$. Sean $Q$ y $R$ puntos en los segmentos $BC$ y $CD,$ respectivamente, tales que la recta $QR$ interseca las rectas $AB$ y $AD$ en los puntos $P$ y $S,$ respectivamente. Se sabe que $PQ = RS.$ Sea $M$ el punto medio de $BD$ y sea $N$ el punto medio de $QR.$ Demuestra que los puntos $M$, $N $, $A$ y $C$ están en una misma circunferencia.

Sea $m$ un entero positivo. Se considera un tablero de $4m \times 4m$ casillas cuadradas. Dos casillas diferentes están relacionadas si pertenecen ya sea a la misma fila o a la misma columna. Ninguna casilla está relacionada con ella misma. Algunas casillas se colorean de azul de tal manera que cada casilla está relacionada con al menos dos casillas azules. Determina el mínimo número de casillas azules.

Sean $n$ un entero positivo impar, y $x_1, \dots, x_n$ números reales no negativos. Muestra que \n\[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]\ndonde $x_{n+1}= x_1$.

Sean $k$ y $n$ enteros tales que $k \ge 2$ y $k \le n \le 2k - 1$. Se ponen piezas rectangulares, cada una de tamaño $1 \times k$ ó $k \times 1$, en un tablero de $n \times n$ casillas cuadradas, de forma que cada pieza cubra exactamente $k$ casillas del tablero y que no haya dos piezas superpuestas. Se hace esto hasta que no se puedan colocar más piezas. Para cada $n$ y $k$ que cumplen las condiciones anteriores, determina el mínimo número de piezas que puede contener dicho tablero.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el conjunto $\{n^2 + 1, n^2 + 2, \dots, n^2 + 2n\}$. Demuestra que hay infinitos elementos en $S$ de cada una de las formas $7m, 7m + 1, 7m + 2, 7m + 5$ y $7m + 6$, pero $S$ no contiene elementos de la forma $7m + 3$ y $7m + 4,$ para $m$ entero.