3 Suponga que $ a_1$ , $ a_2$ , $ \ldots$ , $ a_n$ son enteros tales que $ n\mid a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ . Demuestre que existen dos permutaciones $ \left(b_1,b_2,\ldots,b_n\right)$ y $ \left(c_1,c_2,\ldots,c_n\right)$ de $ \left(1,2,\ldots,n\right)$ tales que para cada entero $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , se tiene \[ n\mid a_i - b_i - c_i \] Propuesto por Ricky Liu y Zuming Feng, EE. UU. Nima Ahmadi

1 Dados los números positivos $a$ y $b$ y el número natural $n$ , halle el mayor entre los $n + 1$ monomios del desarrollo binomial de $\left(a+b\right)^n$ . darij

3 Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ , incentro $I$ y baricentro $S$ , y sea $d$ el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre la desigualdad \[9\cdot HS^2+4\left(AH\cdot AI+BH\cdot BI+CH\cdot CI\right)\geq 3d^2,\] y determine cuándo se cumple la igualdad. darij

2 Sea $M$ un conjunto de puntos en el plano cartesiano, y sea $\left(S\right)$ un conjunto de segmentos (cuyos extremos no necesariamente tienen que pertenecer a $M$ ) tal que se puede caminar desde cualquier punto de $M$ hasta cualquier otro punto de $M$ viajando a lo largo de segmentos que están en $\left(S\right)$ . Halle la menor longitud total de los segmentos de $\left(S\right)$ en los casos a.) $M = \left\{\left(-1,0\right),\left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(0,-1\right),\left(0,1\right)\right\}$ . b.) $M = \left\{\left(-1,-1\right),\left(-1,0\right),\left(-1,1\right),\left(0,-1\right),\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(1,-1\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right)\right\}$ . En otras palabras, halle los árboles de Steiner del conjunto $M$ en los dos casos anteriores. darij

3 Sean $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $n$ enteros positivos tales que $7\cdot 4^n = a^2+b^2+c^2+d^2$ . Demuestre que los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son todos $\geq 2^{n-1}$ . darij

1 Sea $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... una sucesión infinita de números reales que satisface la ecuación $a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ para todo $n\geq 0$ , donde $a_0$ y $a_1$ son dos reales positivos diferentes. ¿Puede esta sucesión $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... ser acotada? Propuesto por Mihai Bălună, Rumania darij

3 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se intersecan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos con un punto común). No hay tres círculos que tengan un punto en común. Cada punto de intersección debe colorearse con uno de $n$ colores distintos, de modo que cada color se use al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Halle todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

1 Demuestre que no existe ningún entero positivo $n$ tal que $2n^2+1,3n^2+1$ y $6n^2+1$ sean cuadrados perfectos.

2 Si $a$ , $b$ , $c$ son reales positivos tales que $a+b+c=1$ , demuestre que \[\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right).\]

3 Sea ABC un triángulo y sean $r, r_a, r_b, r_c$ el inradio y los exradios opuestos a los vértices $A, B, C$ , respectivamente. Suponga que $a>r_a, b>r_b, c>r_c$ . Demuestre que (a) $\triangle ABC$ es acutángulo. (b) $a+b+c > r+r_a+r_b+r_c$ . [S]unn[Y]