Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle CAB \gt \angle ABC$, y sea $I$ su incentro. Sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $\angle CAD = \angle ABC$. Sea $\gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $AC$ en el punto $A$. Sea $X$ el segundo punto de intersección de $\gamma$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Muestra que las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle CXB$ se intersecan en un punto de la recta $BC$.

Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $2n \times 2n$ casillas se colocan dominós de manera que cada casilla del tablero sea adyacente a exactamente una casilla cubierta por un dominó. Para cada n, determina la mayor cantidad de dominós que se pueden poner de esa manera.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AB$ por segunda vez en $P$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a la recta $AI$ en el punto $I$ corta al lado $AC$ por segunda vez en $Q$. Muestra que $PQ$ es tangente a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $CA = CB$ y $\angle ACB = 120^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto variable de la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $C$. Sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP = 2 QC$. Se sabe que la recta que pasa por $P$ y que es perpendicular a la recta $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un único punto $N $. Muestra que existe una circunferencia fija tal que $N$ se encuentra en dicha circunferencia para todas las posibles posiciones de $P$.

Alina traza $2019$ cuerdas en una circunferencia. Los puntos extremos de éstas son todos diferentes. Un punto se considera marcado si es de uno de los siguientes tipos: (i) uno de los $4038$ puntos extremos de las cuerdas; o (ii) un punto de intersección de al menos dos de las cuerdas. Alina etiqueta con un número cada punto marcado. De los $4038$ puntos del tipo (i), $2019$ son etiquetados con un $0$ y los otros $2019$ puntos con un $1$. Ella etiqueta cada punto del tipo (ii) con un entero arbitrario, no necesariamente positivo. En cada cuerda, Alina considera todos los segmentos entre puntos marcados consecutivos (si una cuerda tiene $k$ puntos marcados, entonces tiene $k - 1$ de estos segmentos). Sobre cada uno de estos segmentos, Alina escribe dos números: en amarillo escribe la suma de las etiquetas de los puntos extremos del segmento, mientras que en azul escribe el valor absoluto de su diferencia. Alina se da cuenta que los $N + 1$ números amarillos son exactamente los números $0, 1,\dots , N$. Muestra que al menos uno de los números azules es múltiplo de tres.

Un dominó es una ficha de $1 \times 2$ o de $2 \times 1$ cuadrados unitarios. Sea $n \ge 3$ un entero. Se ponen dominós en un tablero de $n \times n$ casillas de tal manera que cada dominó cubre exactamente dos casillas del tablero sin superponerse (en otras palabras, sin traslaparse). El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una casilla de esta fila o columna. Una configuración de dominós se llama balanceada si existe algún entero $k \ge 1$ tal que cada fila y cada columna tiene valor $k$. Demuestra que existe una configuración balanceada para cada $n \ge 3$, y encuentre el mínimo número de dominós necesarios para una tal configuración.

Considere el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] (a) Muestra que todo entero $x \ge 2$ puede ser escrito como el producto de uno o más elementos de $A$, no necesariamente distintos. (b) Para todo entero $x \ge 2$, sea $f(x)$ el menor entero tal que $x$ puede ser escrito como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, no necesariamente distintos. Demuestra que existen infinitos pares $(x, y)$ de enteros con $x \ge 2$, $y \ge 2$, tales que \[f (xy) \lt f (x) + f (y).\]

Encuentra el menor número entero positivo $k$ para el que existe una coloración de los enteros positivos $\mathbb{Z}_{>0}$ con $k$ colores y una función $f:\mathbb{Z}_{\gt 0}$ a $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con las dos propiedades siguientes: $(i)$ Para todos los enteros positivos $m,n$ del mismo color, $f(m+n)=f(m)+f(n).$ $(ii)$ Hay enteros positivos $m,n$ tales que $f(m+n)\neq f(m)+f(n).$ En una coloración de $\mathbb{Z}_{\gt 0}$ con $k$ colores, cada entero está coloreado exactamente en uno de los $k$ colores. Tanto en $(i)$ como en $(ii)$ los enteros positivos $m,n$ no son necesariamente distintos.

Sea $n \ge 1$ un entero y sean $t_1 \lt t_2 \lt \dots \lt t_n$ enteros positivos. En un grupo de $t_n + 1$ personas, se juegan algunas partidas de ajedrez. Dos personas pueden jugar entre sí a lo más una vez. Demuestra que es posible que las siguientes dos condiciones se den al mismo tiempo: (i) El número de partidas jugadas por cada persona es uno de los números $t_1, t_2, . . . , t_n$. (ii) Para cada $i$ con $1 \le i \le n$, hay al menos una persona que juega exactamente $t_i$ partidas de ajedrez.

Se consideran $2017$ rectas en el plano tales que no hay tres de ellas que pasen por el mismo punto. La hormiga Turbo se coloca en un punto de una recta (distinto de los puntos de intersección) y empieza a moverse sobre las rectas de la siguiente manera: se mueve en la recta en la que está hasta que llega al primer punto de intersección, ahí cambia de recta torciendo a la izquierda o a la derecha, alternando su elección en cada intersección a la que llega. Turbo solo puede cambiar de dirección en los puntos de intersección. ¿Puede existir un segmento de recta por el cual la hormiga viaje en ambos sentidos?