4 Inicialmente en el pizarrón están escritos todos los enteros del $1$ al $2002$ inclusive, en una línea y en algún orden, sin repeticiones. En cada paso, se borran el primer y el segundo número de la línea y se escribe al comienzo de la línea el valor absoluto de la resta de los dos números que se acaban de borrar; los demás números no se modifican en ese paso, y se tiene una nueva línea que tiene un número menos que en el paso anterior. Después de completar $2001$ pasos, queda solo un número en el pizarrón. Determine todos los valores posibles del número que queda en el pizarrón al variar el orden de los $2002$ números de la línea inicial (y realizar los $2001$ pasos).

11 El cúmulo estelar JMO inicialmente consta de cinco estrellas $O,A,B,C,D$. A cada estrella se le asigna un valor llamado su "importancia". La importancia de $O$ es $0$, y la importancia de cada una de $A,B,C,D$ es $1$. Hay vuelos directos de un solo sentido como sigue: de $O$ a $A$ y $C$; de $A$ a $B$ y $D$; de $B$ a $O$; de $C$ a $B$ y $D$; de $D$ a $O$. No hay otros vuelos directos. Para evitar el deterioro, se realiza repetidamente la siguiente operación: $1.$ Se eliminan todos los vuelos directos existentes, y se destruyen todas las estrellas. $2.$ Para cada vuelo directo eliminado $f$, se crea una nueva estrella $S_f$. Su importancia se define como la suma de las importancias de la estrella de salida y la estrella de llegada de $f$. $3.$ Para cada par ordenado $(f,f')$ de vuelos directos eliminados tal que la estrella de llegada de $f$ coincide con la estrella de salida de $f'$, se establece un vuelo directo de un solo sentido desde $S_f$ a $S_{f'}$. Encuentra la importancia total de las estrellas creadas en la operación número $100$.

3 Una circunferencia está circunscrita alrededor de un triángulo $ABC$ . El punto $M$ es el punto medio del arco $AC$ (que no incluye al vértice $B$ ) , y $N$ es el punto medio del arco $AB$ (que no incluye al vértice $C$ ) . Los segmentos $MN$ y $AB$ se intersecan en el punto $K$ . El centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es $O$ . Demuestre que $KO$ es paralela al lado $AC$ .

3 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ , respectivamente. Sea $X$ un punto sobre la circunferencia inscrita, distinto de los puntos $D,E,F$ . Las rectas $XD$ y $EF,XE$ y $FD,XF$ y $DE$ se cortan en los puntos $J,K,L$ , respectivamente. Sean además $M,N,P$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ , respectivamente, tales que las rectas $AM,BN,CP$ son concurrentes. Demuestre que las rectas $JM,KN$ y $LP$ son concurrentes. Dinu Serbanescu

En un círculo de radio 42, dos cuerdas de longitud 78 se intersecan en un punto cuya distancia al centro es 18. Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de estas regiones están bordeadas por segmentos de longitudes desiguales, y el área de cualquiera de ellas puede expresarse de manera única en la forma $m\pi-n\sqrt{d},$ donde $m, n$ y $d$ son enteros positivos y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Encuentra $m+n+d.$

Dado que $(1+\sin t)(1+\cos t)=5/4$ y \[ (1-\sin t)(1-\cos t)=\frac mn-\sqrt{k}, \] donde $k, m$ y $n$ son enteros positivos con $m$ y $n$ primos relativos, encuentra $k+m+n.$

3 En el siguiente diagrama, sea $ABCD$ un cuadrado y sean $M,N,P$ y $Q$ los puntos medios de sus lados. Demuestre que \[S_{A'B'C'D'} = \frac 15 S_{ABCD}.\] [asy] import graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttzz = rgb(0,0.2,0.6); pen qqzzff = rgb(0,0.6,1); draw((0,4)--(4,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,4)--(4,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,0)--(0,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,0)--(0,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,4)--(2,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((2,4)--(4,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,2)--(4,4),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,0)--(4,2),qqzzff+linewidth(1.2pt)); dot((0,4),ds); label("$A$", (0.07,4.12), NE*lsf); dot((0,0),ds); label("$D$", (-0.27,-0.37), NE*lsf); dot((4,0),ds); label("$C$", (4.14,-0.39), NE*lsf); dot((4,4),ds); label("$B$", (4.08,4.12), NE*lsf); dot((2,4),ds); label("$M$", (2.08,4.12), NE*lsf); dot((4,2),ds); label("$N$", (4.2,1.98), NE*lsf); dot((2,0),ds); label("$P$", (1.99,-0.49), NE*lsf); dot((0,2),ds); label("$Q$", (-0.48,1.9), NE*lsf); dot((0.8,2.4),ds); label("$A'$", (0.81,2.61), NE*lsf); dot((2.4,3.2),ds); label("$B'$", (2.46,3.47), NE*lsf); dot((3.2,1.6),ds); label("$C'$", (3.22,1.9), NE*lsf); dot((1.6,0.8),ds); label("$D'$", (1.14,0.79), NE*lsf); clip((-4.44,-11.2)--(-4.44,6.41)--(16.48,6.41)--(16.48,-11.2)--cycle); [/asy] [ $S_{X}$ denota el área de $X.$ ] Amir

3 Halle el entero positivo más pequeño tal que, al mover el último dígito de la derecha del número hacia la izquierda, el número resultante sea $\frac 32$ veces el número original. Amir

3 Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Suponga que $L_1, L_2$ se cortan en $A$ , que $L_2,L_3$ se cortan en $B$ y que $L_3, L_4$ se cortan en $C.$ Halle el número mínimo y el número máximo de rectas en el espacio que cortan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justifique su respuesta. Amir

2 En un tablero cuadrado $8 \times 8$ , cada casilla unitaria está coloreada de negro o de blanco. En un movimiento, se puede seleccionar en el tablero cualquier «esquina» rotada de tres casillas, "corner" https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/5/f210cd0d7ed2b2122a8e830b09afb4d94cdaf1.png y volver a pintar cada una de sus casillas (negro a blanco y blanco a negro). ¿Es posible pintar todas las casillas de blanco después de un número finito de movimientos?