Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de $2021$ puntos en el plano que cumple las siguientes dos condiciones: (i) no hay tres puntos de $P$ sobre una misma recta, (ii) no hay dos puntos de $P$ sobre una misma recta que pasa por el origen. Se dice que un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ es un punto interior de dicho triángulo. Encuentre la mayor cantidad de triángulos gordos que puede haber.

Determina si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.

Se tienen diez monedas indistinguibles puestas en línea. Se sabe que dos de ellas son falsas y ocupan posiciones consecutivas en la línea. Para cada conjunto de posiciones, se puede preguntar cuántas monedas falsas contiene. ¿Es posible determinar cuáles son las monedas falsas efectuando únicamente dos de estas preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda?

Encuentra todas las listas $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ de números reales no negativos tales que se satisfagan las tres condiciones siguientes: - $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2020}$; - $x_{2020} \le x_1 + 1$; $\qquad$; - Existe una permutación $(y_1, y_2, \ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ tal que \[\sum_{I = 1}^{2020} ((x_i + 1)(y_i + 1))^2 = 8 \sum_{i = 1}^{2020} x_i^3\]

Una permutación de los enteros $1, 2, \dots , m$ se llama fresca si no existe ningún entero positivo $k \lt m$ tal que los primeros $k$ elementos de la permutación son los números $1, 2, \dots , k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1, 2, \dots , m.$ Muestra que \[f_n \ge n \cdot f_{n-1}\] para todo $n \ge 3$.

Sean $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ enteros positivos tales que \[2a_{n + 2} = a_{n + 1} + 4a_n \text{ para todo } n = 0, 1, 2, \ldots, 3028.\] Demuestre que al menos uno de los enteros $a_0, a_1, a_2, \dots , a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A = \angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$. Además, las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A, \angle C$ y $\angle E$ son concurrentes. Demuestra que las bisectrices interiores de los ángulos $\angle B, \angle D$ y $\angle F$ también son concurrentes.

Considere el triángulo $ABC$ con $\angle BCA \gt 90^{\circ}$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. En el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB = PC$ tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$. Demuestra que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.

Sea $m \gt 1$ un entero. Se define una sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ como $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 4$, y para todo $n \ge 4$, \[a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.\] Determina todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado perfecto.

Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $ab + bc + ca = 1$ y \[a^2b + c = b^2c + a = c^2a + b.\]