3. Sea $ABC$ un triángulo rectángulo donde ∠ $ACB$ = 90°. Sea $CD$ una altura de ese triángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CD$ y $BC$ , respectivamente. Si $S$ es el circuncentro del triángulo $AMN$ , demuestre que $AS$ y $BC$ son paralelas.

4. Sean $m$ y $n$ números naturales. Cada una de las $m*n$ casillas del tablero $m*n$ está coloreada de negro o de blanco, de modo que no hay 2 casillas vecinas del mismo color (el tablero está coloreado como en el ajedrez). En un paso podemos elegir 2 casillas vecinas y cambiar sus colores así: - una casilla blanca se vuelve negra; - una casilla negra se vuelve azul; - una casilla azul se vuelve blanca. ¿Para cuáles $m$ y $n$ podemos, en una sucesión finita de estos pasos, intercambiar los colores iniciales de blanco a negro y viceversa?

1. Determine todos los números reales $a, b, c, d$ para los cuales $ab+cd=6$ , $ac+bd=3$ , $ad+bc=2$ , $a+b+c+d=6$

2. Determine todos los enteros no negativos $x$ e $y$ tales que $6^x$ + $2^y$ + 2 es un cuadrado perfecto.

3. Sea ABC un triángulo acutángulo con incentro $I$ . La circunferencia inscrita toca los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Las rectas CI y EF se intersecan en $S$ . El punto $T$ ≠ $I$ está sobre la recta AI de modo que $EI$ = $ET$ . Si $K$ es el pie de la altura desde $C$ en el triángulo $ABC$ , demuestre que los puntos $K$ , $S$ y $T$ son colineales.

4. Sea $n$ un entero positivo. Un tablero de formato $n*n$ está dividido en $n*n$ cuadrados iguales. Determine todos los enteros $n$ ≥ 3 tales que el tablero puede cubrirse con piezas $2*1$ (o $1*2$ ) de modo que haya exactamente una casilla vacía en cada fila y en cada columna.

1 Sean $a,b,c$ números reales tales que $$a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab=2$$ . Halle el valor de $$ab+bc+ca$$ y halle al menos una terna $(a,b,c)$ que satisfaga esas condiciones.

2 Sean $a,b,c$ enteros positivos mayores que $1$ tales que $$p=ab+bc+ac$$ es primo. A) Demuestre que $a^2, b^2, c^2$ tienen todos restos diferentes $mod\ p$ . B) Demuestre que $a^3, b^3, c^3$ tienen todos restos diferentes $mod\ p$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $B$ y $C$ se intersecan en el punto $T$ . Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $T$ sobre $AB$ y $AC$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestre: A) Demuestre que $M$ es el ortocentro del triángulo $ADE$ . B) Demuestre que $TM$ corta a $DE$ por la mitad.

1 Determine todos los números reales $a, b, c, d$ para los cuales $$ab + c + d = 3$$ $$bc + d + a = 5$$ $$cd + a + b = 2$$ $$da + b + c = 6$$