1 Dado un punto $ P$ en el interior de un triángulo $ \triangle ABC$ . Sean $ D$ , $ E$ , $ F$ las proyecciones ortogonales del punto $ P$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sean las proyecciones ortogonales del punto $ A$ sobre las rectas $ BP$ y $ CP$ los puntos $ M$ y $ N$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ ME$ , $ NF$ , $ BC$ son concurrentes. Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo cualquiera y $ P$ un punto cualquiera de su interior. Sean $ P_1, P_2$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $ P$ a los dos lados $ AC$ y $ BC.$ Trace $ AP$ y $ BP,$ y desde $ C$ baje perpendiculares a $ AP$ y $ BP.$ Sean $ Q_1$ y $ Q_2$ los pies de estas perpendiculares. Demuestre que las rectas $ Q_1P_2,Q_2P_1,$ y $ AB$ son concurrentes.

2 Supongamos que tenemos un mazo de $2n$ cartas, en el orden $1, 2, . . . , 2n$ . Un barajado perfecto de estas cartas cambia el orden a $n+1, 1, n+2, 2, . . ., n- 1, 2n, n$ ; es decir, las cartas que estaban originalmente en las primeras $n$ posiciones se han movido a los lugares $2, 4, . . . , 2n$ , mientras que las $n$ cartas restantes, en su orden original, ocupan las posiciones impares $1, 3, . . . , 2n - 1.$ Supongamos que comenzamos con las cartas en el orden anterior $1, 2, . . . , 2n$ y luego aplicamos sucesivamente barajados perfectos. ¿Qué condiciones sobre el número $n$ son necesarias para que las cartas finalmente vuelvan a su orden original? Justifique su respuesta. Observación Observación. Este problema es trivial. Alternativamente, puede pedirse encontrar el menor número de barajados después del cual las cartas volverán al orden original. Amir

5 Sea $ c > 2,$ y sea $ a(1), a(2), \ldots$ una sucesión de números reales no negativos tal que \[ a(m + n) \leq 2 \cdot a(m) + 2 \cdot a(n) \text{ for all } m,n \geq 1, \] y $ a\left(2^k \right) \leq \frac {1}{(k + 1)^c} \text{ for all } k \geq 0.$ Demuestre que la sucesión $ a(n)$ es acotada. Autor: Vjekoslav Kovač, Croacia

24 Una circunferencia $C$ con centro $O$ sobre la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB,AC$ . Si se eligen el punto $P$ sobre $AB$ y el punto $Q$ sobre $AC$ tales que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$ , demuestre que el segmento $PQ$ es tangente a la circunferencia $C$ , y demuestre el recíproco. Amir

2007 g1.2 En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo en $A$ y las cevianas $BD$ y $CE$ concurren en un punto $P$ dentro del triángulo. Muestre que el cuadrilátero $ADPE$ tiene una circunferencia inscrita si y solo si $AB=AC$ .

El círculo $x^2+ y^2 = r^2$ corta a los ejes coordenados en $A = (r,0), B = (-r,0), C = (0,r)$ y $D = (0,-r).$ Sean $P = (u,v)$ y $Q = (-u,v)$ dos puntos sobre la circunferencia. Sea $N$ el punto de intersección de $PQ$ con el eje $y$, y sea $M$ el pie de la perpendicular trazada desde $P$ al eje $x$. Si $r^2$ es impar, $u = p^m > q^n = v,$ donde $p$ y $q$ son números primos y $m$ y $n$ son números naturales, demuestra que \[ |AM| = 1, \quad |BM| = 9, \quad |DN| = 8, \quad |PQ| = 8. \]

3 Sea $n>1$ un entero y $d_1<d_2<\dots<d_m$ la lista de sus divisores positivos, incluyendo $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática tocarán una pieza musical durante $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Esta pieza tiene «sonoridad» $S=s_1+s_2+\dots s_n$. Un par de tonos $a$ y $b$ son armónicos si $\frac ab$ o $\frac ba$ es un entero. Si cada instrumento toca durante al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestre que la sonoridad máxima alcanzable es un número compuesto.

14 Existe exactamente un par ordenado de enteros positivos $(m,n),$ ambos mayores que $1,$ con la propiedad de que, escritos en base $10,$ $m \cdot n = \underline{ABCD}$ y $\tbinom{m}{n} = \underline{CDAB}$ para dígitos no nulos y distintos $A, B, C,$ y $D.$ Calcule $m+n.$

7 $ABCD$ es una hoja rectangular de papel que se ha doblado de modo que la esquina $B$ coincide con el punto $B'$ en el borde $AD$. El pliegue es $EF$, donde $E$ está en $AB$ y $F$ está en $CD$. Se dan las dimensiones $AE=8$, $BE=17$ y $CF=3$. El perímetro del rectángulo $ABCD$ es $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $m+n$. [asy] size(200); defaultpen(linewidth(0.7)+fontsize(10)); pair A=origin, B=(25,0), C=(25,70/3), D=(0,70/3), E=(8,0), F=(22,70/3), Bp=reflect(E,F)*B, Cp=reflect(E,F)*C; draw(F--D--A--E); draw(E--B--C--F, linetype("4 4")); filldraw(E--F--Cp--Bp--cycle, white, black); pair point=( 12.5, 35/3 ); label("$A$", A, dir(point--A)); label("$B$", B, dir(point--B)); label("$C$", C, dir(point--C)); label("$D$", D, dir(point--D)); label("$E$", E, dir(point--E)); label("$F$", F, dir(point--F)); label("$B^\prime$", Bp, dir(point--Bp)); label("$C^\prime$", Cp, dir(point--Cp));[/asy]

6 Para $n \geq 3$ y números reales dados $a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n}$ tenemos las siguientes instrucciones: - colocar los números en algún orden en un anillo; - eliminar uno de los números del anillo; - si solo quedan dos números en el anillo: sea $S$ la suma de estos dos números. En caso contrario, si hay más de dos números en el anillo, reemplazar. Después comience de nuevo con el paso (2). Muestre que la mayor suma $S$ que puede resultar de esta manera viene dada por la fórmula \[S_{max}= \sum^n_{k=2} \begin{pmatrix} n -2 \\ [\frac{k}{2}] - 1\end{pmatrix}a_{k}.\]