Lucía multiplica varios números positivos de una cifra (posiblemente repetidos) y obtiene un entero $n$ mayor que $10$. Luego multiplica todas las cifras de $n$ y obtiene un número impar. Determina todos los posibles valores de las cifras de las unidades de $n$.

Sea $ABC$ un triágulo con incentro $I$ y sea $\Gamma$ el excírculo opuesto al vértice $A$. Suponga que $\Gamma$ es tangente a las rectas $BC$, $AC$, y $AB$ en los puntos $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Suponga que las rectas $IA_1$, $IB_1$ e $IC_1$ intersectan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $A_2$, $B_2$ y $C_2$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $AA_1$. Si las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se intersectan en $X$ y las rectas $A_1C_1$ y $A_2C_2$ se intersectan en $Y$. Demuestre que $MX=MY$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC < AB$ y $BC < AC$. Considere los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P \neq B$, $Q \neq C$ y $BQ = BC = CP$. Sea $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Prueba que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.

Celeste tiene un número ilimitado de dulces de cada uno de $n$ tipos distintos, etiquetados tipo $1$, tipo $2$,$\dots$, tipo $n$. Inicialmente ella toma $m\gt 0$ dulces y los pone en fila sobre una mesa. Después escige repetidamente una de las siguientes operaciones y la ejecuta (puede que no tenga siempre ambas opciones). 1. Ella se come un dulce de tipo $k$ y pone en su lugar dos dulces: uno de tipo $k-1$ seguido por uno de tipo $k+1$. Consideramos el tipo $n+1$ como tipo $1$, y el tipo $0$ como tipo $n$. 2. Ella escoge dos dulces del mismo tipo que sean adyacentes y se los come Determina todos los enteros positivos $n$ para los que Celeste puede dejar la mesa vacía después de realizar un número finito de las operaciones anteriores, para todo valor de $m$ y toda configuración de dulces en la mesa.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, \dots$ es húngara si - $a_1$ es un cuadrado perfecto, y - para todo entero $n\ge 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1+(n-1)a_2+\dots+2a_{n-1}+a_n\] es un cuadrado perfecto. Prueba que si $a_1, a_2, \dots$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.

Sea $\mathbb N = \{1, 2, 3, . . .\}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tales que para cualquier pareja de enteros positivos $a$ y $b$, se cumplen las siguientes dos condiciones: - $f(ab) = f(a)f(b)$, y - al menos dos de los números $f(a)$, $f(b)$ y $f(a + b)$ son iguales.

El número $2021$ es fantabuloso. Si para algún entero positivo $m$, alguno de los elementos del conjunto $\{m, 2m + 1, 3m\}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos de dicho conjunto son fantabulosos. ¿Esto implica que el número $2021^{2021}$ es fantabuloso?

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(xf(x)+y) = f(y) + x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ y $y$.

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestra que los puntos $E$, $F$ , $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Determina si existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ con $m$ y $n$ enteros positivos.