Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ y $C_1$ corta al lado $CA$ en el punto $E$. Además, $\overline{BE}$ corta a $C_2$ en $P$ y $\overline{CF}$ corta a $C_1$ en $Q$. Demuestra que $AP=AQ$.

Encuentra todos los números naturales de tres dígitos $abc$ ($a\ne0$) tales que $a^2+b^2+c^2$ es divisor de $26$.

Las cifras de una calculadora (a excepción del $0$) están dispuestas en la forma indicada en el cuadro adjunto, donde aparece también la tecla '$+$'. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan de la manera siguiente: $A$ enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa la tecla $+$. Pasa la calculadora a $B$, que pulsa una cifra en la misma fila o columna que la pulsada por $A$ que no sea la misma que la última pulsada por $A$; a continuación pulsa $+$ y le devuelve la calculadora a $A$, que repite la operación y así sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma $31$. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es esta?

Se supone que $5$ personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona $A$ llama a la persona $B$, $A$ le da a $B$ toda la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que $B$ no le dice nada de él. ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre el asunto? ¿Cuántas llamadas son necesarias si son $n$ personas?

Considere el triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $B$ y el punto medio del lado $AC$. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $AB$. La recta $\ell$ y la circunferencia $\Gamma$ se intersectan en el punto $P$, diferente de $B$. Muestra que la circunferencia que pasa por los puntos $A$, $C$ y $P$ es tangente a la recta $BC$ en $C$.

Disponemos de $n \geq 2$ fichas numeradas del $1$ al $n$. Se colocan, no necesariamente en orden, formando un círculo. Empezamos en la ficha con el número $1$. En cada turno, si estamos en la ficha con el número $i$, saltamos a la que está $i$ lugares más adelante, siempre en el sentido de las agujas del reloj. Determina todos los valores de $n$ tales que es posible ordenar las fichas de manera que visitamos todas ellas.

Al escribir un entero $n\ge1$ como potencia de $2$ o como suma de potencias de $2$, donde cada potencia aparece a lo más dos veces en la suma, se tiene una "representación buena" de $n$. Escriba las $5$ representaciones buenas de $10$ y determine que enteros positivos admiten un número par de representaciones buenas.

En el trapecio $ABCD$ de bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $BC=a,MC=b$ y el ángulo $MCB$ mide $150^o$, halla el área del trapecio $ABCD$ en función de $a$ y $b$.

Sea $a$ un entero positivo impar mayor que $17$, tal que $3a-2$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que existen enteros positivos distintos $b$ y $c$, tales que $a+b,a+c,b+c$ y $a+b+c$ son cuatro cuadrados perfectos.

Determina todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que la igualdad \[f(x+yf(x+y))+xf(x)=f(xf(x+y+1))+y^2\] es verdadera para cualesquiera números reales $x,y$.