3 Sea $n \ge 3$ un entero. Una danza circular es una danza que se ejecuta de acuerdo con la siguiente regla: En el piso, se marcan $n$ puntos a distancias iguales a lo largo de una circunferencia grande. En cada uno de estos puntos hay una hoja de papel con una flecha que apunta en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Uno de los puntos está etiquetado como "Inicio". El bailarín comienza en este punto. En cada paso, primero cambia la dirección de la flecha en su posición actual y luego se mueve al siguiente punto en la nueva dirección de la flecha. a) Demuestre que cada danza circular visita cada punto infinitas veces. b) ¿Cuántas danzas circulares diferentes hay? Se considera que dos danzas circulares son iguales si difieren solo en un número finito de pasos al comienzo y luego siempre visitan los mismos puntos en el mismo orden. (La sucesión común de pasos puede comenzar en momentos diferentes en las dos danzas.) (Birgit Vera Schmidt)

5 Halle todos los polinomios $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ tales que para todo $x\in \mathbb{R}$ : $p(5x)^2-3=p(5x^2+1)$ , con: $a) p(0)\neq 0$ $b) p(0)=0$

4 $p(x)\in \mathbb{C}[x]$ es un polinomio tal que $\forall z\in \mathbb{C}, |z|=1\Longrightarrow p(z)\in \mathbb{R}$ . Demuestre que $p(x)$ es constante.

3 ¿Existe un polinomio irreducible de dos variables $f(x,y)\in \mathbb{Q}[x,y]$ que tenga únicamente cuatro raíces $(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)$ sobre la circunferencia unitaria?

$ n > 0$$ a\neq0$$ p(z) = az^{2n + 1} + bz^{2n} + \bar bz + \bar a$

4 Un entero positivo se llama potente si todos los exponentes en su factorización prima son $\ge 2$ . Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos consecutivos potentes. (Walther Janous)

4 Se da la ecuación $x^2+y^2-axy+2=0$ donde $a$ es un parámetro entero positivo. $i.$ Demuestre que, para $a\neq 4$ no existen pares $(x,y)$ de enteros positivos que satisfagan la ecuación. $ii.$ Demuestre que, para $a=4$ existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación,y determine dichos pares.

2 Las bisectrices de los ángulos $\angle{A},\angle{B},\angle{C}$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ intersecan la circunferencia circunscrita $c_1(O,R)$ de $\triangle{ABC}$ en $A_2,B_2,C_2$ respectivamente.Las tangentes a $c_1$ en $A_2,B_2,C_2$ se intersecan entre sí en $A_3,B_3,C_3$ (los puntos $A_3,A$ se encuentran en el mismo lado de $BC$ , los puntos $B_3,B$ en el mismo lado de $CA$ , y $C_3,C$ en el mismo lado de $AB$ ) .La circunferencia inscrita $c_2(I,r)$ de $\triangle{ABC}$ es tangente a $BC,CA,AB$ en $A_1,B_1,C_1$ respectivamente.Demuestre que $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,AA_3,BB_3,CC_3$ son concurrentes. Diagrama [asy]import graph; size(11cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -9.26871978147865, xmax = 19.467150423463277, ymin = -6.150626456647122, ymax = 10.10782642246474; /* image dimensions */ pen aqaqaq = rgb(0.6274509803921569,0.6274509803921569,0.6274509803921569); pen uququq = rgb(0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274); draw((1.0409487561836381,4.30054785243355)--(0.,0.)--(6.,0.)--cycle, aqaqaq); /* draw figures */ draw((1.0409487561836381,4.30054785243355)--(0.,0.), uququq); draw((0.,0.)--(6.,0.), uququq); draw((6.,0.)--(1.0409487561836381,4.30054785243355), uququq); draw(circle((3.,1.550104087253063), 3.376806580383107)); draw(circle((1.9303371951242874,1.5188413314630436), 1.5188413314630436)); draw((1.0226422135625703,7.734611112525813)--(1.0559139088339535,1.4932847901569466), linetype("2 2")); draw((-1.2916762981259242,-1.8267024931300444)--(1.0559139088339535,1.4932847901569466), linetype("2 2")); draw((-0.2820306621765219,2.344520485530311)--(1.0559139088339535,1.4932847901569466), linetype("2 2")); draw((1.0559139088339535,1.4932847901569466)--(5.212367857300808,4.101231513568902), linetype("2 2")); draw((1.0559139088339535,1.4932847901569466)--(3.,-1.8267024931300442), linetype("2 2")); draw((12.047991949367804,-1.8267024931300444)--(1.0559139088339535,1.4932847901569466), linetype("2 2")); draw((1.0226422135625703,7.734611112525813)--(-1.2916762981259242,-1.8267024931300444)); draw((-1.2916762981259242,-1.8267024931300444)--(12.047991949367804,-1.8267024931300444)); draw((12.047991949367804,-1.8267024931300444)--(1.0226422135625703,7.734611112525813)); /* dots and labels */ dot((1.0409487561836381,4.30054785243355),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A$", (0.5889800538632699,4.463280489351154), NE * labelscalefactor); dot((0.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B$", (-0.5723380089304358,-0.10096957139619551), NE * labelscalefactor); dot((6.,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C$", (6.233525986976863,0.06107480945873997), NE * labelscalefactor); label("$c_1$", (1.9663572911302232,5.111458012770896), NE * labelscalefactor); dot((3.,-1.8267024931300442),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_2$", (2.9386235762598374,-2.3155761097469805), NE * labelscalefactor); dot((5.212367857300808,4.101231513568902),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_2$", (5.315274495465561,4.274228711687063), NE * labelscalefactor); dot((-0.2820306621765219,2.344520485530311),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_2$", (-0.9234341674494632,2.6807922999468636), NE * labelscalefactor); dot((1.0226422135625703,7.734611112525813),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_3$", (1.1291279900463889,7.893219884113956), NE * labelscalefactor); dot((-1.2916762981259242,-1.8267024931300444),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_3$", (-1.8146782621516093,-1.4783468086631473), NE * labelscalefactor); dot((12.047991949367804,-1.8267024931300444),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_3$", (12.148145888182015,-1.6673985863272387), NE * labelscalefactor); dot((1.9303371951242874,1.5188413314630436),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$I$", (2.047379481557691,1.681518618008095), NE * labelscalefactor); dot((1.9303371951242878,0.),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$A_1$", (1.4532167517562602,-0.5600953171518461), NE * labelscalefactor); label("$c_2$", (1.5072315453745722,3.247947632939138), NE * labelscalefactor); dot((2.9254299438737803,2.666303492733126),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$B_1$", (2.8576013858323694,3.1129106488933584), NE * labelscalefactor); dot((0.45412477306806903,1.8761589424582812),linewidth(3.pt) + dotstyle); label("$C_1$", (0,2.3296961414278368), NE * labelscalefactor); dot((1.0559139088339535,1.4932847901569466),linewidth(3.pt) + dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */[/asy]

2 En una aldea $X_0$ hay $80$ turistas que están a punto de visitar $5$ aldeas cercanas $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ . Cada uno de ellos ha elegido visitar solo una de ellas.Sin embargo, hay casos en los que la visita a una aldea obliga al visitante a visitar otras aldeas entre $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ . Cada turista visita solo la aldea que ha elegido y las aldeas a las que está obligado.Si $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$ son visitadas en total por $40,60,65,70,75$ turistas respectivamente,entonces halle cuántos turistas habían elegido cada una de ellas y determine todos los pares ordenados $(X_i,X_j):i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ tales que la visita a $X_i$ obliga al visitante a visitar también $X_j$ .

1 Halle todos los valores posibles de $a\in \mathbb{R}$ y $n\in \mathbb{N^*}$ tales que $f(x)=(x-1)^n+(x-2)^{2n+1}+(1-x^2)^{2n+1}+a$ es divisible por $\phi (x)=x^2-x+1$