Dos jugadores, Rojo y Azul, juegan por turnos en un tablero de $10\times 10$. El azul va primero. En su turno, un jugador elige una fila o columna (no elegida aún por ningún jugador) y colorea todas sus casillas con su propio color. Si alguna de estas casillas ya estaba coloreada, el nuevo color sustituye al anterior. El juego termina después de 20 turnos, cuando todas las filas y columnas han sido elegidas. El rojo gana si el número de casillas rojas en el tablero supera al menos en 10 el número de casillas azules; en caso contrario, gana el azul. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe esta estrategia.

$ABC$ es un triángulo, y $E$ y $F$ son puntos de los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1$ y $\angle CEF=\angle CAB$. Supongamos que $M$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es el punto de intersección entre $CM$ y $AB$. Demuestra que el triángulo $FEG$ es semejante al triángulo $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ el ortocentro y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $\ell$ la paralela que pasa por $M$ a la bisectriz del $\angle AHC$. Demuestra que $\ell$ divide el triángulo en dos partes de igual perímetro.

Las $n$ concursantes de cierta EGMO se llaman $C_1, \dots , C_n$. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas: El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado escoge un entero $i$ con $1 \le i \le n$. – Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga una moneda al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila. – Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina. (a) Muestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. (b) Determina para cada $n$ el máximo número de monedas que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.

Definimos la secuencia $(a_n)$ como sigue: $a_0=a_1=1$ y para $k\ge 2$, $a_k=a_{k-1}+a_{k-2}+1$. Determina cuántos enteros entre $1$ y $2004$ inclusive se pueden expresar como $a_m+a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a>1$ y $b>2$. \nDemuestra que $$a^b+1\ge b(a+1)$$ y determina cuándo hay desigualdad.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,1000\}$ con la propiedad de que ninguna suma de dos elementos diferentes en $S$ esté en $S$. Encuentra el número máximo de elementos de $S$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y tangente a $\Gamma$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle ABP = \angle QBC$.

$S_1$ y $S_2$ son dos circunferencias que se cruzan en dos puntos diferentes $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas tales que $\ell_1$ pasa por el punto $P$ y corta $S_1,S_2$ en $A_1,A_2$ respectivamente (ambos distintos de $P$), y $\ell_2$ pasa por el punto $Q$ y corta $S_1,S_2$ en $B_1,B_2$ respectivamente (ambos distintos de $Q$). Demuestra que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen el mismo perímetro.

Un tablero cuadrado con $8\text{cm}$ lados se divide en $64$ casillas con cada lado $1\text{cm}$. Cada casilla puede estar pintada de blanco o de negro. Halla el número total de formas de colorear el tablero para que cada cuadrado de lado $2\text{cm}$ formado por cuatro casillas con un vértice común contenga dos casillas blancas y dos negras.