3 Se da un grafo $G=(V,E)$. Si se requieren al menos $n$ colores para pintar sus vértices de modo que entre cualesquiera dos vértices del mismo color no haya ninguna arista, entonces se dice que este grafo es ''$n-$ coloreado''. Demuestre que para todo $n \in \mathbb{N}$ existe un grafo $n-$coloreado sin triángulos.

1 Halle todas las soluciones enteras de $2 x^4 + 1 = y^2.$

2 Sea $S = \{(x,y) | x = 1, 2, \ldots, 1993, y = 1, 2, 3, 4\}$. Si $T \subset S$ y no hay cuadrados en $T.$, halle el máximo valor posible de $|T|.$ Los cuadrados en T usan puntos de S como vértices.

3 Sea $ABC$ un triángulo y su bisectriz en $A$ corta a su circunferencia circunscrita en $D.$ Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC,$ $M$ el punto medio de $BC,$ y $P$ el simétrico de $I$ con respecto a $M$ (suponiendo que $P$ está en la circunferencia circunscrita). Prolongue $DP$ hasta que corte nuevamente a la circunferencia circunscrita en $N.$ Demuestre que entre los segmentos $AN, BN, CN$ hay un segmento que es la suma de los otros dos.

1 Dieciséis estudiantes participaron en una competencia. Todos los problemas eran de opción múltiple. Cada problema tenía cuatro opciones. Se sabe que cualesquiera dos estudiantes tenían a lo sumo una respuesta en común; halle el número máximo de problemas.

2 Sea $n \geq 2, n \in \mathbb{N},$ y halle el menor número real positivo $\lambda$ tal que, para cualesquiera $a_i \in \mathbb{R}$ con $i = 1, 2, \ldots, n$ y $b_i \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ con $i = 1, 2, \ldots, n$, se cumple lo siguiente: \[\sum^n_{i=1} a_i = \sum^n_{i=1} b_i = 1 \Rightarrow \prod^n_{i=1} a_i \leq \lambda \sum^n_{i=1} a_i b_i.\]

1 En el plano se da un triángulo $ABC$ con $AB = \sqrt{7},$ $BC = \sqrt{13}$ y $CA = \sqrt{19},$; se trazan circunferencias con centros en $A,B$ y $C$ y radios $\frac{1}{3},$ $\frac{2}{3}$ y $1,$ respectivamente. Demuestre que existen puntos $A',B',C'$ en estas tres circunferencias, respectivamente, tales que el triángulo $ABC$ es congruente con el triángulo $A'B'C'.$

2 Se da una tabla $(3n + 1) \times (3n + 1)$ $(n \in \mathbb{N})$. Demuestre que al eliminar cualquiera de sus casillas se obtiene una figura que se puede cortar en piezas de la siguiente forma y sus rotaciones: una pieza con forma de L, obtenida al quitar una casilla de un cuadrado de $2 \times 2$ casillas.

3 Para cualesquiera $n,T \geq 2, n, T \in \mathbb{N}$ , halle todos los $a \in \mathbb{N}$ tales que $\forall a_i > 0, i = 1, 2, \ldots, n$ , se tiene \[\sum^n_{k=1} \frac{a \cdot k + \frac{a^2}{4}}{S_k} < T^2 \cdot \sum^n_{k=1} \frac{1}{a_k},\] donde $S_k = \sum^k_{i=1} a_i.$

1 Sea $f(x) = x^n + a_1 \cdot x^{n-1} + \ldots + a_n$ un polinomio de coeficientes reales con raíces reales $b_1, b_2, \ldots, b_n$ , $n \geq 2,$ demuestre que $\forall x \geq max\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ , se tiene \[f(x+1) \geq \frac{2 \cdot n^2}{\frac{1}{x-b_1} + \frac{1}{x-b_2} + \ldots + \frac{1}{x-b_n}}.\]