Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia centrada en $ O$ tal que $ AC$ es un diámetro. Se construyen los pararrelogramas $ DAOE$ y $ BCOF$. Demuestra que si $ E$ y $ F$ están en la circunferencia entonces $ ABCD$ es un rectángulo.

Dados $n$ y $k$ enteros positivos, sea $f(n,2k)$ el número de formas en que un tablero de tamaño $n \times 2k$ puede ser completamente cubierto por $nk$ fichas de dominó de tamaño $2 \times 1$ (por ejemplo, $f(2,2) = 2$ y $f(3,2) = 3$). Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que para todo entero positivo $k$, el número $f(n,2k)$ es impar.

Para cada entero positivo $n \ge 2$, determina el mayor entero positivo $N$ con la propiedad de que existen $N +1$ números reales $a_0,a_1,\dots,a_N$ tales que - $a_0+a_1=-\frac 1n$, y - $(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$ para todo $1\leq k \leq N-1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$; y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Suponga que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Prueba que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencias.

Dos circunferencias $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ se cruzan en los puntos $ A$ y $ B$. Consideremos una circunferencia $ \Gamma$ contenida en $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$, que es tangente a ambas en $ D$ y $ E$ respectivamente. Sea $ C$ uno de los puntos de intersección de la recta $ AB$ con $ \Gamma$, $ F$ la intersección de la recta $ EC$ con $ \Gamma_2$ y $ G$ la intersección de la recta $ DC$ con $ \Gamma_1$. Sean $ H$ e $ I$ los puntos de intersección de la recta $ ED$ con $ \Gamma_1$ y $ \Gamma_2$ respectivamente. Demuestra que $ F$, $ G$, $ H$ e $ I$ están en la misma circunferencia.

Encuentra un polinomio $ P\left(x\right)$ con coeficientes reales tal que $$(x+10)P(2x) = (8x - 32)P(x + 6)$$ para todo real $x$ y $P(1) = 210$.

La Olimpiada Centroamericana es una competición anual. La novena olimpiada se celebra en 2007. Halla todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide el número del año en que se celebra la $n$-ésima Olimpiada.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros. Supongamos que para cada dos elementos distintos de $S$, $p$ y $q$, existen enteros no necesariamente distintos $a \neq 0$, $b$, $c$ pertenecientes a $S$, tales que $p$ y $q$ son las raíces del polinomio $ax^{2}+bx+c$. Determina el número máximo de elementos que puede tener $S$.

Dados dos enteros no negativos $m>n$, digamos que $m$ "termina en" $n$ si podemos obtener $n$ borrando algunos dígitos (de izquierda a derecha) en la representación decimal de $m$. Por ejemplo, 329 termina en 29, y también en 9. Determina cuántos números de tres cifras terminan en el producto de sus dígitos.

Sea $ ABC$ un triángulo agudo. Tomemos los puntos $ P$ y $ Q$ dentro de $ AB$ y $ AC$, respectivamente, tales que $ BPQC$ es cíclico. La circunferencia de $ ABQ$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ S$ y la circunferencia de $ APC$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ R$, $ PR$ y $ QS$ vuelven a intersecarse en $ L$. Demuestra que la intersección de $ AL$ y $ BC$ no depende de la selección de $ P$ y $ Q$.