6 Sea un círculo que pasa por $B$ y $C$ de un triángulo $ABC$ que interseca a $AB$ y $AC$ en $Y$ y $Z$ , respectivamente. Sea $P$ la intersección de $BZ$ y $CY$ , y sea $X$ la intersección de $AP$ y $BC$ . Sea $M$ el punto distinto de $X$ que está en la intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $XYZ$ con $BC$ . Demuestre que $M$ es el punto medio de $BC$

1 Determine todos los pares (x; y) de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones $x^3 + 1 - xy^2 - y^2 = 0$ ; $y^3 - 1 - x^2y + x^2 = 0$ . Darij darij

2011.3.3 Sobre los lados $AB$, $BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$, se dan puntos $M$, $N$ y $P$ sucesivamente de modo que el cuadrilátero $CPMN$ es un paralelogramo. Las rectas $AN$ y $MP$ se cortan en $R$, las rectas $BP$ y $MN$ en $S$, y las rectas $AN$ y $BP$ en $Q$. Sea $T$ la proyección del punto $Q$ sobre el lado $AB$. Demuestra que el triángulo $NQP$ y el cuadrilátero $TSQR$ tienen áreas iguales.

2 Hay cuatro circunferencias $k_1 , k_2 , k_3$ y $k_4$ de igual radio dentro del triángulo $ABC$ . La circunferencia $k_1$ es tangente a los lados $AB, CA$ y a la circunferencia $k_4 $ , $k_2$ es tangente a los lados $AB,BC$ y a $k_4$ , y $k_3$ es tangente a los lados $AC, BC$ y a $k_4.$ Demuestre que el centro de $k_4$ se encuentra sobre la recta que une el incentro y el circuncentro de $ABC.$

2 Según el número estimado de participantes que dieron una solución correcta, este fue el problema más difícil (!) del examen de hoy. Así que aquí está este gran asesino alemán - ¡cuidado! Dado un círculo k y tres puntos A, B, C dos a dos distintos sobre este círculo. Sean h y g las perpendiculares a la recta BC en los puntos B y C. La mediatriz del segmento AB corta a la recta h en un punto F; la mediatriz del segmento AC corta a la recta g en un punto G. Demuestre que el producto $BF\cdot CG$ es independiente de la posición del punto A, siempre que los puntos B y C permanezcan fijos. El problema real detrás del problema: ¿Por qué diablos deberían permanecer fijos los puntos B y C? Darij darij

3 Sea s un número real positivo. Considere un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional. Un punto reticular se define como un punto cuyas coordenadas en este sistema son ambas enteras. En cada punto reticular de nuestro sistema de coordenadas hay una lámpara. Inicialmente, solo la lámpara en el origen del sistema de coordenadas cartesiano está encendida; todas las demás lámparas están apagadas. Cada minuto, encendemos además toda lámpara L para la cual existe otra lámpara M tal que - la lámpara M ya está encendida, y - la distancia entre las lámparas L y M es igual a s. Demuestre que cada lámpara se encenderá después de algún tiempo ... (a) ... si s = 13. [Este era el problema para el curso 11.] (b) ... si s = 2005. [Este era el problema para los cursos 12/13.] (c) ... si s es un entero de la forma $s=p_1p_2...p_k$ si $p_1$ , $p_2$ , ..., $p_k$ son primos diferentes que son todos $\equiv 1\mod 4$ . [Esta es mi extensión del problema, que generaliza ambas partes (a) y (b) .] (d) ... si s es un entero cuyos factores primos son todos $\equiv 1\mod 4$ . [Esta es la extensión de ZetaX del problema, y es más fuerte que (c) .] Darij darij

4 No soy un spammer, al menos, así es como acostumbro pensar sobre mí mismo, y por lo tanto no abriré un nuevo hilo para el siguiente problema del examen DeMO de hoy: Sea Q(n) la suma de los dígitos de un entero positivo n. Demuestre que $Q\left(Q\left(Q\left(2005^{2005}\right)\right)\right)=7$ . [ EDIT: Como esta publicación se dividió en un nuevo hilo, comento: El problema es completamente análogo al problema publicado en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=31409 , con la única diferencia de que hay que considerar el número $2005^{2005}$ en lugar de $4444^{4444}$ . ] Darij darij

5 (a) [Problema para el curso 11] Sea r el inradio y $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ los exradios de un triángulo ABC. Demuestre que $\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$ . (b) [Problema para los cursos 12/13] Sea r el radio de la esfera inscrita y sean $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ , $r_d$ los radios de las cuatro esferas exinscritas de un tetraedro ABCD. (Una esfera exinscrita de un tetraedro es una esfera que toca una cara lateral y las extensiones de las otras tres caras laterales.) Demuestre que $\frac{2}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}+\frac{1}{r_d}$ . Lamento mucho publicar estos problemas, pero si no, Orl probablemente los publicará. Esta vez, realmente no tuvimos ningún problema desafiante en el DeMO. Pero al menos, los problemas fueron lo suficientemente simples como para que los resolviera todos. ;) Darij darij

6 La sucesión $x_0,x_1,x_2,.....$ de números reales se llama periódica con periodo $p$ , siendo $p$ un número natural, cuando para cada $p\ge2$ , $x_n=x_{n+p}$ . Demuestre que para cada $p\ge2$ existe una sucesión tal que $p$ es su periodo mínimo y $x_{n+1}=x_n-\frac{1}{x_n}$ $(n=0,1,....)$

1 Determine todos los números reales $x,y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*} x^4 +y^4 & =17(x+y)^2 \\ xy & =2(x+y). \end{align*}