Sea $ ABC$ un triángulo agudo, y sean $ D$ y $ E$ los pies de las altitudes trazadas desde los vértices $ A$ y $ B$, respectivamente. Demuestra que si, \[ (BDE) \le (DEA) \le (EAB) \le (ABD) \] entonces, el triángulo es isósceles.

Para cada número entero $ a>1$ se construye una lista infinita de enteros $ L(a)$, como sigue: $ a$ es el primer número de la lista $ L(a)$. Dado un número $ b$ en $ L(a)$, el siguiente número de la lista es $ b+c$, donde $ c$ es el mayor entero que divide a $ b$ y es menor que $ b$. Encuentra todos los enteros $ a>1$ tales que $ 2002$ está en la lista $ L(a)$.

Una trayectoria desde $ (0,0)$ hasta $ (n,n)$ en la red está formada por movimientos unitarios hacia arriba o hacia la derecha. Está equilibrada si la suma de las coordenadas x de sus vértices $ 2n+{}1$ es igual a la suma de sus coordenadas y. Demuestra que un camino equilibrado divide el cuadrado con vértices $ (0,0)$, $ (n,0)$, $ (n,n)$, $ (0,n)$ en dos partes con igual área.

Determina el menor número entero positivo $ n$ tal que existan enteros positivos $ a_1,a_2,\cdots,a_n,$ que sean menores o iguales a $ 15$ y que no sean necesariamente distintos, tal que los cuatro últimos dígitos de la suma \[ a_1! + a_2! + \cdots + a_n!\] es $ 2001$.

Sea $ AB$ el diámetro de una circunferencia con centro $ O$ y radio $ 1$. Sean $ C$ y $ D$ dos puntos de la circunferencia tales que $ AC$ y $ BD$ se intersecan en un punto $ Q$ situado en el interior de la circunferencia, y $ \angle AQB = 2 \angle COD$. Sea $ P$ un punto que corta las tangentes a la circunferencia que pasan por los puntos $ C$ y $ D$. Determina la longitud del segmento $ OP$.

Sean $ a,b$ y $ c$ números reales tales que la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ p_1,p_2$ y la ecuación $ cx^2 + bx + a = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ q_1,q_2$. Sabemos que los números $ p_1,q_1,p_2,q_2$ en ese orden, forman una progresión aritmética. Demuestra que $ a+c=0$.

Encuentra todos los números primos $ p$ y $ q$ tales que $$ p^3 - q^5 = (p + q)^2.$$

Sea $ABC$ un triángulo y $L$, $M$, $N$ los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. La tangente a la circunferencia de $ABC$ en $A$ interseca a $LM$ y $LN$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $CP$ es paralela a $BQ$.

Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{a_n\}$ de la siguiente manera: $$a_1=\frac{m}{2},\hspace{2mm}a_{n+1}=a_n\lceil a_n\rceil, \hspace{2mm} n\geq 1$$ Determina todos los valores de $m$ para los cuales $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.

Para $0 \leq d \leq 9$, definimos los números \[S_{d}=1+d+d^{2}+\cdots+d^{2006}\] Encuentra el último dígito del número \[S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{9}.\]