8 Dave lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. Independientemente, Linda lanza un dado justo de seis caras hasta que aparece un seis por primera vez. Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos relativamente primos tales que $ \frac{m}{n}$ es la probabilidad de que el número de veces que Dave lanza su dado sea igual o esté dentro de uno del número de veces que Linda lanza su dado. Encuentra $ m+n$ .

1 Dado el cuadrilátero convexo $ ABCD$ . Suponga que existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero para el cual los triángulos $ ABP$ y $ CDP$ son ambos triángulos rectángulos isósceles con el ángulo recto en el vértice común $ P$ . Demuestre que existe un punto $ Q$ para el cual los triángulos $ BCQ$ y $ ADQ$ son también triángulos rectángulos isósceles con el ángulo recto en el vértice común $ Q$ .

9 Un programa de concursos le ofrece a un concursante tres premios A, B y C, cada uno con un valor en dólares que es un número entero desde $ \$1$ hasta $ \$9999$ inclusive. El concursante gana los premios si adivina correctamente el precio de cada premio en el orden A, B, C. Como pista, se dan los dígitos de los tres precios. En un día en particular, los dígitos dados fueron $ 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3$ . Encuentra el número total de posibles adivinanzas para los tres premios que sean consistentes con la pista.

10 Cuatro faros están ubicados en los puntos \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \). El faro en \( A \) está a \( 5 \) kilómetros del faro en \( B \), el faro en \( B \) está a \( 12 \) kilómetros del faro en \( C \), y el faro en \( A \) está a \( 13 \) kilómetros del faro en \( C \). Para un observador en \( A \), el ángulo determinado por las luces en \( B \) y \( D \) y el ángulo determinado por las luces en \( C \) y \( D \) son iguales. Para un observador en \( C \), el ángulo determinado por las luces en \( A \) y \( B \) y el ángulo determinado por las luces en \( D \) y \( B \) son iguales. El número de kilómetros de \( A \) a \( D \) está dado por \( \displaystyle\frac{p\sqrt{r}}{q} \), donde \( p \), \( q \) y \( r \) son enteros positivos relativamente primos, y \( r \) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \( p+q+r \).

Considera el conjunto de todos los triángulos \( OPQ \) donde \( O \) es el origen y \( P \) y \( Q \) son puntos distintos en el plano con coordenadas enteras no negativas \( (x,y) \) tales que \( 41x+y = 2009 \). Encuentra el número de tales triángulos distintos cuya área es un entero positivo.

1 Los números racionales $a, b$ son tales que $a+b$ y $a^2+b^2$ son enteros. Demuestre que $a, b$ son enteros.

2 Rudolph va en bicicleta a una velocidad constante y se detiene por un descanso de cinco minutos al final de cada milla. Jennifer va en bicicleta a una velocidad constante que es tres cuartos de la velocidad de Rudolph, pero Jennifer toma un descanso de cinco minutos al final de cada dos millas. Jennifer y Rudolph comienzan a andar en bicicleta al mismo tiempo y llegan a la marca de $ 50$ millas exactamente al mismo tiempo. ¿Cuántos minutos les ha tomado?

Existen $ r$ enteros no negativos únicos $ n_1 > n_2 > \cdots > n_r$ y $ r$ enteros únicos $ a_k$ ( $ 1\le k\le r$ ) con cada $ a_k$ siendo $ 1$ o $ - 1$ tales que \[ a_13^{n_1} + a_23^{n_2} + \cdots + a_r3^{n_r} = 2008. \] Encuentra $ n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ .

5 Un cono circular recto tiene radio de la base $ r $ y altura $ h $ . El cono descansa de lado sobre una mesa plana. Mientras el cono rueda sobre la superficie de la mesa sin resbalar, el punto donde la base del cono toca la mesa traza un arco circular centrado en el punto donde el vértice toca la mesa. El cono regresa por primera vez a su posición original sobre la mesa después de hacer $ 17 $ rotaciones completas. El valor de $ h/r $ se puede escribir en la forma $ m\sqrt {n} $ , donde $ m $ y $ n $ son enteros positivos y $ n $ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $ m + n $ . E^(pi*i)=-1

14 Para \( t = 1, 2, 3, 4 \), define \( \displaystyle S_t = \sum_{i = 1}^{350}a_i^t \), donde \( a_i \in \{1,2,3,4\} \). Si \( S_1 = 513 \) y \( S_4 = 4745 \), encuentra el valor mínimo posible para \( S_2 \).