12. Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divide a otro. Demuestra que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos. Amir

13 Un tronco de pirámide regular de $n$ lados está circunscrito a una esfera. Denota las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera con las caras laterales de la pirámide. Demuestra que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

15 Demuestra que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ( $S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$ ) no es la unión de finitamente muchas progresiones aritméticas. Amir

14 Determina todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica. Amir

Se te da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas excepto la conmutatividad de la multiplicación. Muestra que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde \(x^{-1}\) es el elemento para el cual \(x^{-1}x = xx^{-1} = e\), y \(e\) es el elemento del sistema tal que para todo \(a\) se cumple \(ea = ae = a\).

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestra que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

19 Demuestra que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional. Amir

25 Se dan en el plano cuatro circunferencias distintas $C,C_1, C_2$ , C3 y una recta L tales que $C$ y $L$ son disjuntas y cada una de las circunferencias $C_1, C_2, C_3$ toca a las otras dos, así como a $C$ y a $L$ . Suponiendo que el radio de $C$ es $1$ , determina la distancia entre su centro y $L.$ Amir

26 Sean $(a_n)_{n\geq0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ dos sucesiones de números naturales. Determina si existe un par $(p, q)$ de números naturales que satisfaga \[p < q \quad \text{ y } \quad a_p \leq a_q, b_p \leq b_q.\] Amir

27 Sea $O$ un punto del espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$. Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$, y para cada punto $M$ de $S$, sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$. Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ las intersecciones de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$, respectivamente, donde ponemos $P_i \neq O$ si $l_i$ corta a $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ($i = 1, 2, 3$). ¿Cuál es el conjunto de centros de gravedad de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ cuando $M$ recorre los puntos de $S$?