Con perlas de diferentes colores formando collares, se dice que un collar es "primo" si no se puede descomponer en hilos de perlas de la misma longitud, e iguales entre sí. Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Demuestra que el número de collares primos con $n$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q^n$ colores posibles, es igual a $n$ veces el número de collares primos con $n^2$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q$ colores posibles. Nota: dos collares se consideran iguales si tienen el mismo número de perlas y se puede conseguir el mismo color en ambos collares, girando uno de ellos para que coincida con el otro.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos circunferencias internamente tangentes en $A$, con centros $O$ y $O_1$ y radios $r$ y $r_1$, respectivamente ($r>r_1$). $B$ es un punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, y $C$ es un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Dado que $O_1A'$ es paralelo a $AP$, halla la razón $r/r_1$.

Sea $ABC$ un triángulo agudo y $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas que pasan por $A$, $B$, $C$ respectivamente. Llamemos $Y$ y $Z$ a los pies de las rectas perpendiculares desde $B$ y $C$ a $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ respecto a $E$ y $E_1$ la reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF=FD+DE$, demuestra que $\angle BZF_1=\angle CYE_1$.

Si $p$, $q$ y $r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es un número racional no nulo, demuestra que $$\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}$$ también es un número racional.

Encuentra el menor número entero positivo $ N$ tal que la suma de sus dígitos sea $100$ y la suma de los dígitos de $ 2N$ sea $110$.

Una ficha se coloca en una casilla de un tablero de $m\times n$, y se mueve según las siguientes reglas: En cada turno, la ficha puede moverse a una casilla que comparta un lado con la que está ocupada actualmente. La ficha no puede colocarse en una casilla que ya fue ocupada. Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección. El juego termina cuando la ficha no puede ser movida. Determina los valores de $m$ y $n$ para los que, colocando la ficha en alguna casilla, se puede lograr que todas las casillas del tablero hayan sido ocupadas al final de la partida.

Hay $2008$ bolsas numeradas del $1$ al $2008$, con $2008$ ranas en cada una de ellas. Dos personas juegan por turnos. Una jugada consiste en seleccionar una bolsa y sacar de ella un número cualquiera de ranas (al menos una), dejando en ella $ x$ ranas ($ x\geq 0$). Después de cada jugada, de cada bolsa con un número superior al seleccionado y que tenga más de $ x$ ranas, se escapan algunas ranas hasta que haya $ x$ ranas en la bolsa. Pierde el jugador que saque la última rana de la bolsa número $1$. Encuentra y explica una estrategia ganadora.

Cinco chicas tienen una pequeña tienda que abre de lunes a viernes. Como dos personas son siempre suficientes para atenderla, deciden hacer un plan de trabajo para la semana, especificando quién trabajará cada día, y cumpliendo las siguientes condiciones: Cada chica trabajará exactamente dos días a la semana, y las 5 parejas asignadas para la semana deben ser diferentes. ¿De cuántas maneras pueden las chicas hacer el plan de trabajo?

Hay $2009$ casillas numeradas del $1$ al $2009$, algunas de las cuales contienen piedras. Dos jugadores, $ A$ y $ B$, juegan alternativamente, empezando por $ A$. Una jugada consiste en seleccionar una casilla no vacía $ i$, tomar una o varias piedras de esa casilla y colocarlas en la casilla $ i + 1$. Si $ i = 2009$, las piedras seleccionadas se eliminan. El jugador que elimina la última piedra gana. Si hay $2009$ piedras en la caja $2$ y las otras están vacías, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora. Si hay exactamente una piedra en cada casilla, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

¿Para qué números enteros $ n\ge 3$ es posible acomodar, en algún orden, los números $ 1,2,\cdots, n$ en una forma circular tal que cada número divide la suma de los dos números siguientes, en sentido horario?