$S$ es una circunferencia con $AB$ de diámetro y $t$ es la recta tangente a $S$ en $B$. Consideremos los dos puntos $C$ y $D$ en $t$ de tal manera que $B$ está entre $C$ y $D$. Supongamos que $E$ y $F$ son las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$ y que $G$ y $H$ son las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$. Demuestra que $AH=AG$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$, y $E$, $H$, $F$ y $G$ son puntos en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$. Si $M=EG \cap AC$, $N=HF \cap AC$. Demuestra que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^{2}$. Determina el valor mínimo que puede tomar la suma de dichos números.

En una pizarra, se escriben los números de $1$ a $9$. Los jugadores $A$ y $B$ se turnan, y $A$ es el primero. Cada jugador, por turno, elige uno de los números de la pizarra y lo retira, junto con todos los múltiplos (si los hay). El jugador que elimina el último número pierde. Determina si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

Entre los enteros positivos que se pueden expresar como la suma de $2005$ enteros consecutivos, ¿cuál ocupa la posición $2005$ cuando se ordenan?

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB\parallel CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$. Muestra que $\angle BPC=90^{\circ}$. $Q$ es el punto medio de $BC$ y $R$ es el punto de intersección entre la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B,A$ y $Q$. Muestra que los puntos $B,P,R$ y $C$ son concíclicos.

Dos jugadores $A$ y $B$ se turnan en el siguiente juego: Hay un montón de piedras de $2003$. En su primer turno, $A$ elige un divisor de $2003$ y retira este número de piedras del montón. A continuación, $B$ elige un divisor del número de piedras restantes, y retira ese número de piedras del nuevo montón, y así sucesivamente. El jugador que tenga que retirar la última piedra pierde. Demuestra que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describa la estrategia.

Sea $ P$ el producto de todos los dígitos no nulos del entero positivo $ n$. Por ejemplo, $ P(4) = 4$, $ P(50) = 5$, $ P(123) = 6$, $ P(2009) = 18$. Encuentra el valor de la suma: $P(1) + P(2) + ... + P(2008) + P(2009)$.

En un tablero de $10\times 10$, la mitad de las casillas son de color blanco y la otra mitad de color negro. Un lado común a dos casillas del tablero es llamado "borde" si las dos casillas tienen colores diferentes. Determina el número mínimo y máximo posible de bordes que puede haber en el tablero.

Si $x$, $y$, $z$ son reales positivos que satisfacen \[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2. \] Encuentra todos los valores posibles de $x+y+z$.