2 Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \big(f(x) + f(y)\big) \geqslant \big(f(f(x)) + y\big) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran sobre $\omega$ de modo que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . La recta $CO$ corta a $AB$ en $X$ , y la recta $BO$ corta a $AC$ en $Y$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen un punto de intersección sobre la recta $AO$ . Ivan Chan Kai Chin, Malasia

4 Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen \[\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=\frac{(a+b)(c+d)}{a+b+c+d}.\] Determine todos los valores posibles de $a+b+c+d$ .

1 Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con el lado de la cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccionar un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltear las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltear la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que todas las monedas muestren la cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

5 Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ formada por $n^2$ cuadrados unitarios, donde el cuadrado $i^{\text{th}}$ está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consiste en un número de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la fila $i^{\text{th}}$ y la columna $j^{\text{th}}$ está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el menor número de piezas que Paul necesita hacer para lograrlo.

6 Sea $N$ un entero positivo. Demuestre que existen tres permutaciones $a_1,\dots,a_N$ , $b_1,\dots,b_N$ y $c_1,\dots,c_N$ de $1,\dots,N$ tales que \[\left|\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k}+\sqrt{c_k}-2\sqrt{N}\right|<2023\] para todo $k=1,2,\dots,N$ .

1 Dado un entero $n > 1$ , sean $1 = a_1 < a_2 < \cdots < a_t = n - 1$ todos los enteros positivos menores que $n$ que son coprimos con $n$ . Halle todos los $n$ tales que no existe $i \in \{1, 2, \ldots , t - 1\}$ que satisfaga $3 | a_i + a_{i+1}$ .

2018.3.3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se cortan en el punto $E$. La circunferencia circunscrita de $ABE$ interseca las rectas $AD$ y $BC$ en $F$ y $G$. Sean $AE$ y $FB$ que se cortan en $P$, y sean $EB$ y $AG$ que se cortan en $Q$. Sean $X$ y $Y$ los reflejos de $F$ y $G$ respecto a las rectas $AE$ y $EB$. Sea $K$ la intersección de $BD$ y $XP$, y sea $L$ la intersección de $AC$ y $QY$. Demuestra que $KL$ y $AB$ son paralelas.

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que existe un punto $P$ en el interior de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las rectas $AD, PM$ y $BC$ son concurrentes.

1 El Profesor Oak está alimentando a sus $100$ Pokémon. Cada Pokémon tiene un cuenco cuya capacidad es un número real positivo de kilogramos. Estas capacidades son conocidas por el Profesor Oak. La capacidad total de todos los cuencos es de $100$ kilogramos. El Profesor Oak distribuye $100$ kilogramos de comida de tal manera que cada Pokémon recibe un número entero no negativo de kilogramos de comida (que puede ser mayor que la capacidad del cuenco). El nivel de insatisfacción de un Pokémon que recibió $N$ kilogramos de comida y cuyo cuenco tiene una capacidad de $C$ kilogramos es igual a $\lvert N-C\rvert$ . Halle el número real más pequeño $D$ tal que, independientemente de las capacidades de los cuencos, el Profesor Oak pueda distribuir la comida de manera que la suma de los niveles de insatisfacción sobre todos los $100$ Pokémon sea a lo sumo $D$ . Oleksii Masalitin, Ucrania