5 Sea $a_n$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n\ge 1$ \[d(2025^{a_n}-1)|a_{n+1}.\] Demuestra que para cualquier número real positivo $c$ existe un entero positivo $N_c$ tal que $a_n>n^c$ para todo $n\geq N_c$. Nota. Aquí $d(m)$ denota el número de divisores positivos del entero positivo $m$.

Para un entero \( k\geq 1 \), llamamos a un conjunto \(\mathcal{S}\) de \( n\geq k \) puntos en un plano \( k \)-triangular si no hay tres de ellos colineales y siempre que se eliminen a lo sumo \( k \) puntos (posiblemente cero) de \(\mathcal{S}\), la cápsula convexa del conjunto resultante es un triángulo no degenerado. Para un entero positivo \( k \) dado, encuentra todos los enteros \( n\geq k \) tales que existe un conjunto \( k \)-triangular formado por \( n \) puntos. Nota. Se define que un conjunto de puntos en un plano euclidiano es convexo si contiene los segmentos de recta que conectan cada par de sus puntos. La cápsula convexa de una figura es el conjunto convexo más pequeño que la contiene.

Como se muestra a continuación, hay un papel de $40\times30$ con un rectángulo relleno de $10\times5$ dentro de él. Queremos recortar el rectángulo relleno del papel usando cuatro cortes rectos. Cada corte recto es una línea recta que divide el papel en dos piezas, y conservamos la pieza que contiene el rectángulo relleno. La meta es minimizar la longitud total de los cortes rectos. ¿Cómo lograr esta meta, y cuál es esa longitud minimizada? Muestra los cortes correctos y escribe la respuesta final. No hay necesidad de probar la respuesta. Propuesto por Morteza Saghafian

2 El hexágono convexo \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) está en el interior del hexágono convexo \(B_1B_2B_3B_4B_5B_6\) tal que \(A_1A_2 \parallel B_1B_2\), \(A_2A_3 \parallel B_2B_3\), ..., \(A_6A_1 \parallel B_6B_1\). Demuestra que las áreas de los hexágonos simples \(A_1B_2A_3B_4A_5B_6\) y \(B_1A_2B_3A_4B_5A_6\) son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se intersecta a sí mismo.) Propuesto por Hirad Aalipanah - Mahdi Etesamifard

3 En la figura dada, $ABCD$ es un paralelogramo. Sabemos que $\angle D = 60^\circ$, $AD = 2$ y $AB = \sqrt3 + 1$. El punto $M$ es el punto medio de $AD$. El segmento $CK$ es la bisectriz del ángulo $C$. Encuentra el ángulo $CKB$. Propuesto por Mahdi Etesamifard

4 Hay dos circunferencias con centros \(O_1,O_2\) que están dentro de la circunferencia \(\omega\) y son tangentes a ella. La cuerda \(AB\) de \(\omega\) es tangente a estas dos circunferencias, de modo que ellas quedan en lados opuestos de esta cuerda. Demuestra que \(\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ\). Propuesto por Iman Maghsoudi.

5 Hay algunos segmentos en el plano tales que no hay dos de ellos que se intersecten (ni siquiera en los puntos extremos). Decimos que el segmento $AB$ rompe al segmento $CD$ si la extensión de $AB$ corta a $CD$ en algún punto entre $C$ y $D$. [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(4cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -5.267474904743955, xmax = 11.572179069738377, ymin = -10.642621257034536, ymax = 4.543526642434019; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((-4,-2)--(1.08,-2.03), linewidth(2)); draw(shift((-2.1866176795507295,-2.0107089507113147))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-0.16981767035094117,3.225314210196242)--(-2.1866176795507295,-2.0107089507113147), linewidth(2) + linetype("4 4")); draw((-0.16981767035094117,3.225314210196242)--(-0.8194002739586808,1.538865607509914), linewidth(2)); label("$A$",(-1.2684397405642523,3.860690076971137),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$B$",(-1.9211395070170559,2.002590777612728),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$C$",(-4.971261820527631,-1.6571211388676117),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$D$",(1.08925640451367566,-1.6571211388676117),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); /* dots and labels */ dot((-4,-2),dotstyle); dot((1.08,-2.03),dotstyle); dot((-0.16981767035094117,3.225314210196242),dotstyle); dot((-0.8194002739586808,1.538865607509914),dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] $a)$ ¿Es posible que cada segmento, al extenderse por ambos extremos, rompa exactamente un segmento en cada dirección? [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(4cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -6.8, xmax = 8.68, ymin = -10.32, ymax = 3.64; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((-2.56,1.24)--(-0.36,1.4), linewidth(2)); draw((-3.32,-2.68)--(-1.24,-3.08), linewidth(2)); draw(shift((-2.551651190956802,-2.8277593863544612))*scale(0.17638888888888887)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw(shift((-0.8889576602618603,1.3615303519809556))*scale(0.17638888888888887)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-2.551651190956802,-2.8277593863544612)--(-0.8889576602618603,1.3615303519809556), linewidth(2) + linetype("4 4")); draw((-1.4097008194020806,0.049476186483185636)--(-1.8514772275312024,-1.0636149148218605), linewidth(2)); /* dots and labels */ dot((-2.56,1.24),dotstyle); dot((-0.36,1.4),dotstyle); dot((-3.32,-2.68),dotstyle); dot((-1.24,-3.08),dotstyle); dot((-1.4097008194020806,0.049476186483185636),dotstyle); dot((-1.8514772275312024,-1.0636149148218605),dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] $b)$ Un segmento se llama rodeado si por ambos lados de él hay exactamente un segmento que lo rompe. (por ejemplo, el segmento $AB$ en la figura.) ¿Es posible que todos los segmentos estén rodeados? [asy] /* Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki go to User:Azjps/geogebra */ import graph; size(7cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -10.70976151557872, xmax = 18.64292748469251, ymin = -16.354300717041443, ymax = 9.136192362141452; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((1.0313140845297686,0.748205038977829)--(-1.3,-4), linewidth(2.8)); draw((-5.780195085389632,-2.13088646583346)--(-2.549994860479401,-2.13088646583346), linewidth(2.8)); draw((4.121070821400425,-3.816208322308361)--(1.78,-1.88), linewidth(2.8)); draw(shift((-0.38228674372374466,-2.13088646583346))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((-2.549994860479401,-2.13088646583346)--(-0.38228674372374466,-2.13088646583346), linewidth(2.8) + linetype("4 4")); draw(shift((0.32979226045261084,-0.6805897691262632))*scale(0.21166666666666667)*(expi(pi/4)--expi(5*pi/4)^^expi(3*pi/4)--expi(7*pi/4))); /* special point */ draw((4.121070821400425,-3.816208322308361)--(0.32979226045261084,-0.6805897691262632), linewidth(2.8) + linetype("4 4")); draw((-3.6313140845297687,-8.74820503897783)--(3.600422205681574,5.980726991931396), linewidth(2.8) + linetype("2 2")); label("$A$",(-0.397698406272906,1.754593418658662),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); label("$B$",(-2.6377720405041316,-3.266261278756151),SE*labelscalefactor,fontsize(16)); /* dots and labels */ dot((1.0313140845297686,0.748205038977829),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-1.3,-4),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-5.780195085389632,-2.13088646583346),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((-2.549994860479401,-2.13088646583346),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((4.121070821400425,-3.816208322308361),linewidth(6pt) + dotstyle); dot((1.78,-1.88),linewidth(6pt) + dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] Propuesto por Morteza Saghafian

1 Hay tres rectángulos en la siguiente figura. Se muestran las longitudes de algunos segmentos. Encuentra la longitud del segmento $XY$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/6/f/f/6ff334abf1755ad7fa792de3941109208965d5f8.png Propuesto por Hirad Aalipanah

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $P$. Sabemos que $\angle DAC = 90^o$ y $2 \angle ADB = \angle ACB$. Si tenemos $\angle DBC + 2 \angle ADC = 180^o$, demuestra que $2AP = BP$. Propuesto por Iman Maghsoudi.

3 Sean $\omega_1,\omega_2$ dos circunferencias con centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Estas dos circunferencias se intersecan entre sí en los puntos $A$ y $B$. La recta $O_1B$ interseca a $\omega_2$ por segunda vez en el punto $C$, y la recta $O_2A$ interseca a $\omega_1$ por segunda vez en el punto $D$. Sea $X$ la segunda intersección de $AC$ con $\omega_1$. También $Y$ es el segundo punto de intersección de $BD$ con $\omega_2$. Demuestra que $CX = DY$. Propuesto por Alireza Dadgarnia