Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P$, $Q$ y $R$ los puntos de contacto del incírculo con los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Sean $L$, $M$ y $N$ los pies de las alturas del triángulo $PQR$ desde $R$, $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que que las rectas $AN$, $BL$ y $CM$ se encuentran en un punto. Muestra que este punto pertenece a la recta que une el ortocentro y el circuncentro del triángulo $PQR$.

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$, $r$ tales que $p$ y $q$ son números primos y $$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}.$$

Queremos colocar números naturales alrededor de un círculo de forma que los valores absolutos de las diferencias de cada par de números vecinos son todos diferentes. ¿Es posible colocar los números del $1$ al $2009$ satisfaciendo esta propiedad? ¿Es posible quitar uno de los números del $1$ al $2009$ de forma que los restantes números del $2008$ puedan colocarse satisfaciendo la propiedad?

Consideremos una circunferencia $S$, y un punto $P$ fuera de ella. Las líneas tangentes desde $P$ se encuentran con $S$ en $A$ y $B$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ se encuentra con $S$ en un punto $C$ que está dentro del triángulo $ABP$. $AC$ corta a $PM$ en $G$, y $PM$ se encuentra con $S$ en un punto $D$ que está fuera del triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralela a $AC$. Demuestra que $G$ es el centroide del triángulo $ABP$.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes centradas en $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto de $\Gamma$, $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$, y $D$ es un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demuestra que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.

Demuestra que la ecuación $$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+3b^{2}-c^{2}-a^{2}=2005$$ no tiene soluciones enteras.

Sea $n$ un número entero positivo y $p$ un primo fijo. Tenemos una baraja de $n$ cartas, numeradas con $1,\ 2,\ldots,\ n$ y $p$ cajas para poner las cartas en ellas. Determina todos los posibles enteros $n$ para los que es posible distribuir las cartas en las cajas de forma que la suma de los números de las cartas en cada caja sea la misma.

Para todo número natural $n$ definimos \[f(n)=\left\lfloor n+\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor\] Demuestra que para todo número entero $k \geq 1$ la ecuación $$f(f(n))-f(n)=k$$ tiene exactamente $2k-1$ soluciones.

El país "Olimpia" está formado por $n$ islas. La más poblada se llama "Panacenter", y cada isla tiene un número diferente de habitantes. Queremos construir puentes entre estas islas, con los que podremos viajar en ambas direcciones, bajo las siguientes condiciones: Ningún par de islas está unido por más de un puente. Utilizando los puentes podemos llegar a todas las islas desde el Panacentro. Si queremos viajar desde Panacenter a cada una de las otras islas, de forma que utilicemos cada puente como máximo una vez, el número de habitantes de las islas que visitamos es estrictamente decreciente. Determina el número de formas en que podemos construir los puentes.

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^{2}$. Determina el valor mínimo que puede tomar la suma de dichos números.