Denotemos por $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Encuentra todas las soluciones de la ecuación $n(S(n)-1)=2010.$

En un triángulo $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ y las cevianas $BD$ y $CE$ coinciden en un punto $P$ del interior del triángulo. Demuestra que el cuadrilátero $ADPE$ tiene un círculo interior si y sólo si $AB=AC$.

Sean $a,b,c$ números reales que satisfacen $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} =1$ y $ab+bc+ac >0$. Demuestra que \[ a+b+c - \frac{abc}{ab+bc+ac} \ge 4 .\]

En una isla remota se habla un idioma en el que cada palabra puede escribirse utilizando sólo las letras $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$. Digamos que dos palabras son "sinónimas" si podemos transformar una en la otra según las siguientes reglas: Cambiar una letra por otras dos de la siguiente manera: $$a \rightarrow bc, b \rightarrow cd, c \rightarrow de, d \rightarrow ef, e \rightarrow fg, f \rightarrow ga, g \rightarrow ab.$$ Si una letra se encuentra entre otras dos letras iguales, éstas se pueden eliminar. Por ejemplo, $dfd\to f$. Demuestra que todas las palabras de este lenguaje son sinónimas.

Alex y luisa son una pareja de ladrones. Todas las mañanas, Luisa roba un tercio del dinero de Alex, pero por la tarde siente remordimientos y le da la mitad de todo el dinero que tiene. Si Luisa no tiene dinero al principio y empieza a robar el primer día, ¿cuál es la menor cantidad entera positiva de dinero que debe tener Alex para que al final del día 2012 ambos tengan una cantidad entera de dinero?

Trilandia es una ciudad muy singular. La ciudad tiene la forma de un triángulo equilátero de lado 2012. Las calles dividen la ciudad en varias manzanas con forma de triángulo equilátero de lado 1. También hay calles en la frontera de Trilandia. Hay 6036 calles en total. El alcalde quiere poner puestos de vigilancia en algunas intersecciones de la ciudad para controlar las calles. Un punto de control puede vigilar todas las calles en las que se encuentra. ¿Cuál es el menor número de puntos de control necesarios para vigilar todas las calles de Trilandia?

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < BC$, y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$ tales que $BF = BC = CE$, ambos en el mismo semiplano que $A$ respecto a $BC$. Sea $G$ la intersección de $BE$ y $CF$. Sea $H$ un punto de la paralela que pasa por $G$ a $AC$ tal que $HG = AF$ (con $H$ y $C$ en semiplanos opuestos respecto a $BG$). Demuestra que $\angle EHG = \frac{\angle BAC}{2}$.

Sea $\gamma$ la circunferencia del triángulo agudo $ABC$. Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$. La paralela a $AB$ que pasa por $P$ corta a $BC, AC$ y $\gamma$ en los puntos $R,S$ y $T$, respectivamente. Sean $K \equiv AP \cap BT$ y $L \equiv BS \cap AR$. Demuestra que $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y sólo si $CS = PR$.

Considere un cubo con una mosca en cada uno de sus vértices. Cuando suena un silbato, cada mosca se desplaza a un vértice de la misma cara que el anterior pero diagonalmente opuesto a él. Después de que suene el silbato, ¿de cuántas maneras pueden cambiar de posición las moscas para que no haya ningún vértice con 2 o más moscas?

En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el pie de la altitud que pasa por $A$, $E$ es la intersección de $AC$ con la bisectriz del $\angle ABC$ y $F$ es un punto de $AB$. Sea $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X=AD\cap BE$, $Y=BE\cap CF$, $Z=CF \cap AD$. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ debe ser equilátero.