3 Demuestre que para cualesquiera números reales no negativos $a,b,c,d$ tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ se cumple la siguiente desigualdad: $$a+b+c+d-1\geq 16abcd$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

1 1. Halle todos los primos de la forma $n^3-1$ .

5 Halle todos los enteros positivos $x,y$ tales que $2^x+19^y$ es un cubo perfecto.

2 2 .Resuelva la desigualdad $|x-1|-2|x-4|>3+2x$

5 5. Dado el punto T en el rectángulo ABCD, las distancias desde T hasta A,B,C son 15,20,25. Halle la distancia desde T hasta D.

2 Demuestre que para todo real positivo $a,b,c$ se cumple la desigualdad: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1 \geq \frac{2\sqrt2}{3} (\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}})$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 $n$ equipos participaron en un torneo de baloncesto. Cada equipo jugó exactamente un partido contra cada equipo. No hubo empates. Si al final del torneo el $i$ - ésimo equipo tiene $x_{i}$ victorias y $y_{i}$ derrotas $(1\leq i \leq n)$ , demuestre que: $\sum_{i=1}^{n} {x_{i}}^2=\sum_{i=1}^{n} {y_{i}}^2$

4 Demuestre que: $\cos36-\sin18=\frac{1}{2}$

5 Una esfera de radio $R$ es cortada por dos planos paralelos, tales que el centro de la esfera está fuera de la región determinada por estos planos. Sean $S_{1}$ y $S_{2}$ las áreas de las intersecciones, y $d$ la distancia entre estos planos. Halle el área de la intersección de la esfera con el plano paralelo a estos dos planos, equidistante de ellos.

5 Se da un rectángulo $ABCD$ con longitud $|AB|=15cm$ y con longitud de la altura $|BE|=12cm$ , donde $BC$ es la altura del triángulo $ABC$ . Halle el perímetro y el área del rectángulo $ABCD$ .