5 $P$ es un poliedro convexo tal que: (1) cada vértice pertenece exactamente a $3$ caras. (1) Para todo número natural $n$ , hay un número par de caras con $n$ vértices. Una hormiga camina a lo largo de las aristas de $P$ y forma un ciclo sin autointersecciones, que divide las caras de este poliedro en dos lados, de modo que para todo número natural $n$ , el número de caras con $n$ vértices en cada lado es el mismo. (suponga que esto es posible) Demuestre que el número de veces que la hormiga gira a la izquierda es igual al número de veces que la hormiga gira a la derecha.

2 Sea $m>1$ un entero. Halle el menor entero positivo $n$ tal que para cualesquiera enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n; b_1,b_2,\ldots ,b_n$ existen enteros $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ que satisfacen las dos condiciones siguientes: i) Existe $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que $x_i$ y $m$ son coprimos ii) $\sum^n_{i=1} a_ix_i \equiv \sum^n_{i=1} b_ix_i \equiv 0 \pmod m$

5 Un polígono no necesariamente plano en $\mathbb{R}^3$ se denomina polígono de cuadrícula si cada una de sus aristas es paralela a uno de los ejes. (a) Hay un ángulo recto entre cada dos lados vecinos del polígono de cuadrícula; el plano que contiene este ángulo puede ser paralelo al plano $xy$ , al plano $yz$ o al plano $xz$ . Demuestre que la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $xy$ es igual a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $yz$ y a la paridad del número de ángulos cuyo plano es paralelo al plano $zx$ . (b) Un polígono de cuadrícula se denomina inscrito si existe un punto del espacio que equidista de todos los vértices del polígono. Demuestre que todo hexágono de cuadrícula no plano es inscrito. (c) ¿Existe un 2014-ágono de cuadrícula sin vértices repetidos tal que exista un plano que interseca a todas sus aristas? (d) Si $a,b,c \in \mathbb{N}-\{1\}$ , demuestre que $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo si y solo si existe un polígono de cuadrícula en el que el número de aristas paralelas al eje $x$ es $a$ , el número de aristas paralelas al eje $y$ es $b$ y el número de aristas paralelas al eje $z$ es $c$ . El tiempo permitido para este examen fue de 1 hora.

5 Suponga que dos pirámides regulares con la misma base $ABC$ : $P-ABC$ y $Q-ABC$ están circunscritas por la misma esfera. Si el ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $P-ABC$ es $\frac{\pi}{4}$ , halle el valor de la tangente del ángulo formado por una de las caras laterales y la base de la pirámide $Q-ABC$ .

7 Una ecuación $P(x)=Q(y)$ se llama Interesante si $P$ y $Q$ son polinomios de grado al menos uno con coeficientes enteros y la ecuación tiene un número infinito de soluciones en $\mathbb{N}$ . Una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ produce una ecuación interesante $F(x)=G(y)$ si existe un polinomio $R(x) \in \mathbb{Q} [x]$ tal que $F(x) \equiv R(P(x))$ y $G(x) \equiv R(Q(x))$ . (a) Suponga que $S$ es un subconjunto infinito de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ . $S$ es una solución de la ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ si cada elemento de $S$ es una solución de esta ecuación. Demuestre que para cada $S$ existe una ecuación interesante $P_0(x)=Q_0(y)$ tal que si existe alguna ecuación interesante de la cual $S$ sea una solución, entonces $P_0(x)=Q_0(y)$ produce esa ecuación. (b) Defina el grado de una ecuación interesante $P(x)=Q(y)$ como $max\{deg(P),deg(Q)\}$ . Una ecuación interesante se llama primaria si no existe otra ecuación interesante de menor grado que la produzca. Demuestre que si $P(x)=Q(y)$ es una ecuación interesante primaria y $P$ y $Q$ son mónicos, entonces $(deg(P),deg(Q))=1$ . El tiempo permitido para esta pregunta fue de 2 horas.

5 Sea $p$ un número primo. Sabemos que cada número natural puede escribirse de manera única en la forma \[\sum_{i=0}^{t}a_ip^i (t,a_i \in \mathbb N\cup \{0\},0\le a_i\le p-1)\] . Ahora sea $T$ el conjunto de todas las sumas de la forma \[\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i (0\le a_i \le p-1).\] (Esto significa permitir números con una representación infinita en base $p$ ). Así, los números para los cuales para algún $N\in \mathbb N$ todos los coeficientes $a_i, i\ge N$ son cero son números naturales. (De hecho, podemos considerar los miembros de $T$ como sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ para las cuales $\forall_{i\in \mathbb N}: 0\le a_i \le p-1$ . ) Ahora generalizamos la suma y la multiplicación de los números naturales a este conjunto de modo que se convierta en un anillo (no es necesario demostrar este hecho). Por ejemplo: $1+(\sum_{i=0}^{\infty} (p-1)p^i)=1+(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+...$ $=p+(p-1)p+(p-1)p^2+...=p^2+(p-1)p^2+(p-1)p^3+...$ $=p^3+(p-1)p^3+...=...$ Así, en esta suma, los coeficientes de todos los números $p^k, k\in \mathbb N$ son cero, por lo que esta suma es cero y, por tanto, podemos concluir que $\sum_{i=0}^{\infty}(p-1)p^i$ desempeña el papel de $-1$ (el inverso aditivo de $1$ ) en este anillo. Como ejemplo de multiplicación considere \[(1+p)(1+p+p^2+p^3+...)=1+2p+2p^2+\cdots\] Suponga que $p$ es $1$ módulo $4$ . Demuestre que existe $x\in T$ tal que $x^2+1=0$ . Propuesto por Masoud Shafaei

36 Tres círculos concéntricos con centro común $O$ son cortados por una cuerda común en puntos sucesivos $A, B, C$ . Las tangentes trazadas a los círculos en los puntos $A, B, C$ encierran una región triangular. Si la distancia desde el punto $O$ a la cuerda común es igual a $p$ , demuestre que el área de la región encerrada por las tangentes es igual a \[\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{2p}\]

C4 Alicia y Bob juegan juntos como equipo en un tablero $100 \times 100$ con todas las casillas unitarias inicialmente blancas. Alicia prepara el juego coloreando exactamente $k$ de las casillas unitarias de rojo al principio. Después de eso, un movimiento legal para Bob consiste en elegir una fila o columna con al menos $10$ casillas rojas y colorear de rojo todas las casillas restantes de ella. ¿Cuál es el menor $k$ tal que Alicia puede preparar un juego de manera que Bob pueda colorear todo el tablero de rojo tras un número finito de movimientos? Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

4 Inicialmente, Aslı distribuye $1000$ bolas en $30$ cajas como desee. Después, Aslı y Zehra realizan movimientos alternados que consisten en tomar una bola de cualquier caja, comenzando con Aslı. Quien toma la última bola de una caja se queda con esa caja. ¿Cuál es el número máximo de cajas que Aslı puede garantizar para sí misma independientemente de los movimientos de Zehra?

34 Sean $\{a_n\}^{\infty}_0$ y $\{b_n\}^{\infty}_0$ dos sucesiones determinadas por las fórmulas de recursión \[a_{n+1} = a_n + b_n,\] \[ b_{n+1} = 3a_n + b_n, n= 0, 1, 2, \cdots,\] y los valores iniciales $a_0 = b_0 = 1$ . Demuestre que existe una constante $c$ determinada de manera única tal que $n|ca_n-b_n| < 2$ para todo entero no negativo $n$ .