Juan escribe la lista de parejas $(n,3^n)$, con $n=1,2,3,\ldots$ en un pizarrón. A medida que va escribiendo la lista, subraya las parejas $(n,3^n)$ cuando $n$ y $3^n$ tienen la misma cifra de las unidades. De las parejas subrayadas, cuál ocupa la posición $2013$?

Alrededor de una mesa redonda están sentadas en sentido horario las personas $P_1,P_2,\ldots,P_{2013}$. Cada una tiene cierta cantidad de monedas (posiblemente ninguna); entre todas tienen $10000$ monedas. Comenzando por $P_1$ y prosiguiendo en sentido horario, cada persona en su turno hace lo siguiente: Si tiene un número par de monedas, se las entrega todas a su vecino de la izquierda. Si en cambio tiene un número impar de monedas, le entrega a su vecino de la izquierda un número impar de monedas (al menos una y como máximo todas las que tiene), y conserva el resto. Prueba que, repitiendo este procedimiento, necesariamente llegará un momento en que todas las monedas estén en poder de una misma persona.

Dado un triángulo agudo y escaleno $ ABC$, sea $ H$ su ortocentro, $ O$ su circuncentro, $ E$ y $ F$ los pies de las altitudes trazadas desde $ B$ y $ C$, respectivamente. La recta $ AO$ vuelve a cortar la circunferencia del triángulo en el punto $ G$ y los segmentos $ FE$ y $ BC$ en los puntos $ X$ e $ Y$ respectivamente. Sea $ Z$ el punto de intersección de la recta $ AH$ y la recta tangente a la circunferencia en $ G$. Demuestra que $ HX$ es paralela a $ YZ$.

Sea $ABCD$ un cuadirlátero convexo y $M$ el punto medio del lado $AB$. La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AB$ en $A$ corta al segmento $DM$ en $E$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $B$ corta al segmento $CM$ en $F$. Suponga que las rectas $AF$ y $BE$ se cortan en un punto que pertenece a la mediatriz del lado $AB$. Demuestra que $A,E$ y $C$ son colineales si y solo si $B,F$ y $D$ son colineales.

Un "deslizamiento" sobre un entero $n\geq 2$ es una operación que consiste en elegir un divisor primo $p$ de $n$ y sustituir $n$ por $\frac{n+p^2}{p}$. Partiendo de un entero arbitrario $n\geq 5$, aplicamos sucesivamente la operación de deslizamiento sobre él. Demuestra que eventualmente se llega a $5$, sin importar los deslizamientos aplicados.

Determina todas las parejas de polinomios no constantes $p(x)$ y $q(x)$, cada uno con coeficiente principal $1$, grado $n$ y $n$ raíces enteras no negativas, tales que $p(x)-q(x)=1$.

Encuentra todos los números enteros positivos que son iguales a $700$ veces la suma de sus dígitos.

Ana y Beatriz alternan turnos en un juego que se inicia con un cuadrado de lado $1$ dibujado en un tablero infinito. Cada jugada consiste en dibujar un cuadrado que no se superponga con la figura ya dibujada, de manera que uno de sus lados sea un lado (completo) del rectángulo que está dibujado. Gana el juego aquella persona que logre completar una figura cuya área sea múltiplo de $5$. Si Ana realiza la primera jugada, ¿existe estrategia ganadora para alguna jugadora?

Encuentra todos los números enteros positivos $N$ tales que un tablero de $N\times N$ pueda ser embaldosado usando baldosas de tamaño $5\times 5$ o $1\times 3$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. La bisectriz del ángulo $A$ interseca a $BC$ en $D$, a $\Gamma$ en $K$ (distinto de $A$), y a la tangente a $\Gamma$ por $B$ en $X$. Demuestra que $K$ es el punto medio de $AX$ si y solo si $\frac{AD}{DC}=\sqrt2$.