Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB \lt CD$, y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$.La circunferencia del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R.$ Sean $S$ y $T$ los puntos en los que las tangentes de $P$ a la circunferencia de $ABCD$ tocan dicha circunferencia. Muestra que $PQ=PR$. Muestra que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

Anselmo y Bonifacio inician un juego en el que sustituyen alternativamente un número escrito en un tablero. En cada turno, un jugador puede sustituir el número escrito por el número de divisores del número escrito o por la diferencia entre el número escrito y el número de divisores que tiene. Anselmo es el primer jugador en jugar, y el que sea el primero en escribir el número $0$ es el ganador. Dado que el número inicial es $1036$, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe dicha estrategia. Nota: Por ejemplo, el número de divisores de $14$ es $4$, ya que sus divisores son $1$, $2$, $7$ y $14$.

Una sucesión $(a_n)$ de números reales está definida por $a_0=1$, $a_1=2015$ y para todo $n\geq1$, tenemos: \[a_{n+1}=\frac{n-1}{n+1}a_n-\frac{n-2}{n^2+n}a_{n-1}. \] Calcule el valor de $$\frac{a_1}{a_2}-\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_4}-\frac{a_4}{a_5}+\ldots+\frac{a_{2013}}{a_{2014}}-\frac{a_{2014}}{a_{2015}}.$$

$39$ estudiantes participaron en un concurso de matemáticas. El examen constaba de $6$ problemas y cada problema valía $1$ punto por una solución correcta y $0$ puntos por una solución incorrecta. Para $3$ estudiantes cualesquiera, hay a lo más $1$ problema que no fue resuelto por ninguno de los tres. Sea $B$ la suma de todas las puntuaciones de los $39$ estudiantes. Halla el menor valor posible de $B$.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$, inscrito en una circunferencia de centro $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$. Una circunferencia que pasa por $O$ y $P$ interseca los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos interiores $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que $BF=DG$.

Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números reales tales que no hay dos iguales, \[ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4 \] y $ac=bd$. Halla el máximo valor posible de \[ \frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.\]

Un número entero positivo se llama "tico" si es el producto de tres números primos diferentes que suman $74$. Comprueba que $2014$ es tico. ¿Qué año será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?

Utilizando cuadrados de lado $1$, se forma una figura en forma de escalera por etapas siguiendo el patrón del dibujo. Por ejemplo, la primera etapa utiliza $1$ cuadrado, la segunda utiliza $5$, etc. Determina la última etapa para la que la figura correspondiente utiliza menos de $2014$ cuadrados.

Un entero positivo $n$ es "divertido" si para todos los divisores positivos $d$ de $n$, $d+2$ es un número primo. Encuentra todos los números divertidos con el mayor número posible de divisores.

Se eligen los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sobre una recta en ese orden, con $AB$ y $CD$ mayores que $BC$. Se construyen los triángulos equiláteros $APB$, $BCQ$ y $CDR$ de forma que $P$, $Q$ y $R$ estén en el mismo lado respecto a $AD$. Si $\angle PQR=120^\circ$. Demuestra que \[ \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}. \]