La rana Tita se sienta en la recta numérica. Inicialmente está en el número entero $k>1$. Si está sentada en el número $n$, salta al número $f(n)+g(n)$, donde $f(n)$ y $g(n)$ son, respectivamente, los números primos positivos más grandes y más pequeños que dividen a $n$. Encuentra todos los valores de $k$ de manera que Tita pueda saltar a infinitos números enteros distintos.

El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encuentra números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, si $r$, $s$ y $t$ son las raíces de $Q$ (en algún orden) entonces $P(r)=s$, $P(s)=t$ y $P(t)=r$.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ que tienen $4$ dígitos, todos ellos cuadrados perfectos, y tales que $n$ es divisible por $2$, $3$, $5$ y $7$.

El número $3$ está escrito en un tablero. Ana y Bernardo juegan por turnos, empezando por Ana, al siguiente juego. Si el número escrito en el tablero es $n$, el jugador en su turno debe sustituirlo por un número entero $m$ coprimo de $n$ y tal que $n\lt m\lt n^2$. El primer jugador que alcance un número mayor o igual que $2016$ pierde. Determina cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.

Decimos que un número es irie si se puede escribir de la forma $1+\frac{1}{k}$ para algún entero positivo $k$. Demostrar que todo número entero $n \geq 2$ puede escribirse como el producto de $r$ números irie distintos para todo número entero $r \geq n-1$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contenga a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altitud que pasa por $A$. Demuestra que $R$, $S$ y $T$ son colineales.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Gamma$. Sean $M=BI\cap \Gamma$ y $N=CI\cap \Gamma$, la recta paralela a $MN$ por $I$ corta a $AB$, $AC$ en $P$ y $Q$. Demuestra que el circunradio de $\odot (BNP)$ y $\odot (CMQ)$ son iguales.

Queremos escribir $n$ números reales distintos $(n\geq 3)$ en la circunferencia de un círculo de forma que cada número sea igual al producto de sus vecinos inmediatos a la izquierda y a la derecha. Determinar todos los valores de $n$ para los que esto es posible.

Sea $n \geq 2$ un número entero, y sean $a_1, a_2, \dots , a_n$ enteros positivos. Muestra que existen enteros positivos $b_1, b_2, \dots , b_n$ que cumplen las siguientes tres condiciones: $a_i \le b_i$ para todo $i = 1, 2, \dots , n$; los residuos de $b_1, b_2, \dots , b_n$ al dividirlos entre $n$ son todos diferentes; y \[b_1+b_2+\cdots b_n \le n\left(\frac{n-1}{2}+\left\lfloor \frac{a_1+a_2+\cdots a_n}{n}\right \rfloor \right)\]

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ con la recta perpendicular a $AD$ que pasa por $A$. Demuestra que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.