50 Sea $D$ el punto del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAB$. Sea $I$ el incentro de $ ABC.$ (a) Construya los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$ y el perímetro del triángulo $APQ$ es igual a $k \cdot BC$, donde $k$ es un número racional dado. (b) Sea $R$ el punto de intersección de $PQ$ y $AD$. ¿Para qué valor de $k$ se cumple la igualdad $AR = RI$? (c) ¿En qué caso se cumplen las igualdades $AR = RI = ID$? Amir

51 Sean $a, b, c, d$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia y sea $S$ su área. Demuestre que $S \leq \sqrt{abcd}$ y halle las condiciones de igualdad. Amir

52 Resuelva el sistema de ecuaciones \[\tan x_1 +\cot x_1=3 \tan x_2,\] \[\tan x_2 +\cot x_2=3 \tan x_3,\] \[\vdots\] \[\tan x_n +\cot x_n=3 \tan x_1\] Amir

53 Para enteros positivos dados $r, v, n$, sea $S(r, v, n)$ el número de $n$ - tuplas de enteros no negativos $(x_1, \cdots, x_n)$ que satisfacen la ecuación $x_1 +\cdots+ x_n = r$ y tales que $x_i \leq v$ para $i = 1, \cdots , n$. Demuestre que \[S(r, v, n)=\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom nk \binom{r - (v + 1)k + n - 1}{n-1}\] Donde $m=\left\{n,\left[\frac{r}{v+1}\right]\right\}.$ Amir

54 Halle el menor entero $n$ con la siguiente propiedad: Para cualquier conjunto $V$ de $8$ puntos en el plano, sin que tres estén sobre una misma recta, y para cualquier conjunto $E$ de n segmentos con extremos en $V$, se puede hallar una recta que intersecte al menos $4$ segmentos de $E$ en puntos interiores. Amir

55 Dado un entero $n \geq 2$, determine todos los números de $n$ - cifras $M_0 = \overline{a_1a_2 \cdots a_n} \ (a_i \neq 0, i = 1, 2, . . ., n)$ divisibles por los números $M_1 = \overline{a_2a_3 \cdots a_na_1}$ , $M_2 = \overline{a_3a_4 \cdots a_na_1 a_2}$ , $\cdots$ , $M_{n-1} = \overline{a_na_1a_2 . . .a_{n-1}}.$ Amir

56 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ un hexágono inscrito en una circunferencia con centro $O$. Considere el arco circular con extremos $A_1,A_6$ que no contiene a $A_2$. Para cualquier punto $M$ de ese arco, denote por $h_i$ la distancia de $M$ a la recta $A_iA_{i+1} \ (1 \leq i \leq 5)$. Construya $M$ tal que la suma $h_1 + \cdots + h_5$ sea máxima. Amir

57 En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita es tangente a los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente; la circunferencia exinscrita en el ángulo $A$ es tangente a las rectas que contienen estos lados en $A_1,B_1, C_1$, y análogamente, las circunferencias exinscritas en los ángulos $B$ y $C$ son tangentes a estas rectas en $A_2,B_2, C_2$ y $A_3,B_3, C_3$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo si y solo si una de las ternas de puntos $(A',B_3, C'),$ $ (A_3,B', C_3), (A',B', C_2), (A_2,B_2, C'), (A_2,B_1, C_2), (A_3,B_3, C_1),$ $ (A_1,B_2, C_1), (A_1,B_1, C_3)$ es colineal. Amir

58 Halle cuatro enteros positivos, cada uno no mayor que $70000$ y cada uno con más de $100$ divisores. Amir

59 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices no están sobre una circunferencia. Sea $A'B'C'D'$ un cuadrángulo tal que $A',B', C',D'$ son los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD,ACD,ABD$ y $ABC$. Escribimos $T (ABCD) = A'B'C'D'$. Definamos $A''B''C''D'' = T (A'B'C'D') = T (T (ABCD)).$ (a) Demuestre que $ABCD$ y $A''B''C''D''$ son semejantes. (b) La razón de semejanza depende del tamaño de los ángulos de $ABCD$. Determine esta razón. Amir