Sean $x, y$ números reales tales que $x-y, x^2-y^2, x^3-y^3$ son todos números primos. Demuestra que $x-y=3$.

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ utilizando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente una casilla de $1 \times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicha casilla unitaria en el tablero de ajedrez.

Sea $n$ un número entero positivo, $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1, 2, \ldots ,n$ definimos el polinomio $S_i(x)=x^2-2018x+l_i$, donde $l_1, l_2, \ldots, l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\cdots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los $l_i$ es mayor o igual que $2018$.

Determina todas las tripletas $(p, q, r)$ de enteros positivos, donde $p, q$ son números primos, tales que $$\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.$$

En La Habana se realiza un baile con $2018$ parejas. Para el baile, se dispone de una circunferencia donde inicialmente se marcan $2018$ puntos distintos, etiquetados con los números $0,1,\ldots,2017$. Las parejas son ubicadas sobre los puntos marcados, una en cada punto. Para $i\ge1$, se define $s_i$ como el residuo de dividir $i$ entre $2018$ y $r_i$ como el residuo de dividir $2i$ entre $2018$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i-$ésimo minuto después de haber inciado el baile, la pareja ubicada en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja que ocupaba el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determina cuantas parejas quedarán al terminar el baile.

Susana y Brenda juegan a escribir polinomios en la pizarra. Susana empieza y juegan por turnos. En el turno preparatorio (turno $0$), Susana elige un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x)=n_0$. En el turno $1$, Brenda elige un entero positivo $n_1$, distinto de $n_0$, y escribe el polinomio \[ P_1(x)=n_1x+P_0(x) \text{ o } P_1(x)=n_1x-P_0(x). \] En general, en el turno $k$, el jugador respectivo elige un número entero $n_k$, diferente de $n_0, n_1, \ldots, n_{k-1}$, y escribe el polinomio \[P_k(x)=n_kx^k+P_{k-1}(x) \text{ o } P_k(x)=n_kx^k-P_{k-1}(x).\] El primer jugador que escriba un polinomio con al menos una raíz entera gana. Encuentra y describe una estrategia ganadora.

La figura siguiente muestra una red hexagonal formada por muchos triángulos equiláteros congruentes. Por turnos, Gabriel y Arnaldo juegan de la siguiente manera. En su turno, el jugador colorea un segmento, incluyendo los puntos extremos, siguiendo estas tres reglas: - Los puntos finales deben coincidir con los vértices de los triángulos equiláteros marcados. -El segmento debe estar formado por uno o varios de los lados de los triángulos. -El segmento no puede contener ningún punto (puntos finales incluidos) de un segmento previamente coloreado. Gabriel juega primero, y el jugador que no puede hacer un movimiento legal pierde. Encuentra una estrategia ganadora y descríbela.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $l$ la recta que pasa por los puntos medios de $BC$ y $AC$. $E$ es la reflexión de $D$ sobre $l$. Demuestra que el circuncentro de $ ABC$ está en la recta $AE$.

$ABC$ es un triángulo rectángulo, con $\angle ABC = 90^{\circ}$. $B'$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$. $M$ es el punto medio de $AC$. Elegimos $D$ sobre $\overline{BM}$, tal que $BD = AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz de $\angle MB'D$. NOTA: Una condición importante que no se menciona en el problema original es $AB\lt BC$. En caso contrario, $\angle MB'D$ no está definido o en otras palabras, $B'C$ es la bisectriz externa.

Llamamos a un par $(a,b)$ de enteros positivos, $a<391$, pupusa si \[\text{mcm}(a,b)>\text{mcm}(a,391) \] Encuentra el valor mínimo posible de $b$, entre todas las parejas pupusa.