Sea $M$ un punto sobre la altura $CD$ de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sean $K$ y $L$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre $AC$ y $BC$ . Suponga que el incentro y el circuncentro del triángulo se encuentran sobre el segmento $KL$ . (a) Demuestre que $CD=R+r$ , donde $R$ y $r$ son el circunradio y el inradio, respectivamente. (b) Halle el valor mínimo de la razón $CM:CD$ .

Sea $K$ un cubo de arista $n$ , donde $n>2$ es un entero par. El cubo $K$ se divide en $n^3$ cubos unitarios. Llamamos capa a cualquier conjunto de $n^2$ cubos unitarios situados en el mismo nivel horizontal o vertical. Disponemos de $\frac{n^3}4$ colores, y con cada uno de ellos pintamos exactamente $4$ cubos unitarios. Demuestre que siempre podemos seleccionar $n$ cubos unitarios de colores distintos, sin que dos de ellos se encuentren en la misma capa.

Demuestre que para todo número primo $p\ge5$ , (a) $p^3$ divide a $\binom{2p}p-2$ ; (b) $p^3$ divide a $\binom{kp}p-k$ para todo número natural $k$ .

Sea $f(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales que tiene $n$ raíces reales (no necesariamente distintas). Demuestre que para todo $x$ real, $$f(x)f''(x)\le f'(x)^2.$$

En una circunferencia unitaria con centro $O$ , $AB$ es un arco con ángulo central $\alpha<90^\circ$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $OB$ , $T$ es un punto del arco $AB$ y $l$ es la tangente a la circunferencia en $T$ . La recta $l$ y el ángulo $AHB$ forman un triángulo $\Delta$ . (a) Demuestre que el área de $\Delta$ es mínima cuando $T$ es el punto medio del arco $AB$ . (b) Demuestre que si $S_\alpha$ es el área mínima de $\Delta$ , entonces la función $\frac{S_\alpha}\alpha$ tiene límite cuando $\alpha\to0$ y halle este límite.

Se colocan fichas blancas y negras en las casillas de un tablero de ajedrez $n\times n$ $(n\ge2)$ de acuerdo con la siguiente regla. Inicialmente, se coloca una ficha negra en una casilla arbitraria. En cada paso siguiente, se coloca una ficha blanca en una casilla libre, con lo cual todas las fichas de las casillas adyacentes por un lado se reemplazan por fichas del color opuesto. Este proceso continúa hasta que hay una ficha en cada casilla. Demuestre que en la configuración final hay al menos una ficha negra.

Considere el número obtenido escribiendo los números $1,2,\ldots,1990$ uno después de otro. En este número se omite todo dígito que ocupe una posición par; en el número así obtenido, se omite todo dígito que ocupe una posición impar; luego, en el nuevo número, se omite todo dígito que ocupe una posición par, y así sucesivamente. ¿Cuál será el último dígito que quede?

Sea dado un número real $\alpha\ne0$ . Demuestre que existe un único punto $P$ en el plano de coordenadas tal que para toda recta que pasa por $P$ e interseca la parábola $y=\alpha x^2$ en dos puntos distintos $A$ y $B$ , los segmentos $OA$ y $OB$ son perpendiculares (donde $O$ es el origen).

Sea $n=p_1p_2\cdots p_s$ , donde $p_1,\ldots,p_s$ son números primos impares distintos. (a) Demuestre que la expresión $$F_n(x)=\prod\left(x^{\frac n{p_{i_1}\cdots p_{i_k}}}-1\right)^{(-1)^k},$$ donde el producto recorre todos los subconjuntos $\{p_{i_1},\ldots,p_{i_k}\}$ de $\{p_1,\ldots,p_s\}$ (incluidos él mismo y el conjunto vacío), puede escribirse como un polinomio en $x$ con coeficientes enteros. (b) Demuestre que si $p$ es un divisor primo de $F_n(2)$ , entonces $p\mid n$ o $n\mid p-1$ .

Suponga que $M$ es un conjunto infinito de números naturales tal que, siempre que la suma de dos números naturales esté en $M$ , uno de estos dos números también está en $M$ . Demuestre que los elementos de cualquier conjunto finito de números naturales que no pertenecen a $M$ tienen un divisor común mayor que $1$ .