Sea $n$ un natural mayor a $2$. Supongamos que $n$ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes, con las islas $x_1,x_2,\ldots, c_n$ en orden de las manecillas del reloj. Comenzando en la isla $x_1$, ¿de cuántas maneras se pueden recorrer los puentes pasando por cada puente exactamente una vez?

Considera un triángulo $ABC$ con $BC>AC$. La circunferencia con centro $C$ y radio $AC$ interseca al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cruzan en un punto $F$ con $F \neq A$. Demuestra que $BF=BD$.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Sea $k$ un número entero positivo y $x_1, x_2, \dots, x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. \nDemuestra que\n\[ P(x_1)+P(x_2)+\cdots+P(x_k)\geq kP(1). \]

Un entero positivo $N$ es "interoceanico" si su factorizacion prima $$N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$$ satisface $$x_1+x_2+\cdots+x_k=p_1+p_2+\cdots+p_k.$$ Encuentra todos los numeros interoceanicos menores que $2020$.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circumcírculo. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demuestra que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se encuentran en $AD$.

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas de $B$ y $C$ se prolongan y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ vuelven a encontrarse con $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de manera que los triángulos formados en cada jugada no se cruzan internamente con los triángulos coloreados anteriores. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Entonces, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes en ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes en el vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se borra). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana la partida. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos de tales que $a+b+c=1$. Demuestra que\n\[ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Sea $N=\overline{abcd}$ un número entero positivo de cuatro cifras. Nombramos "potencia plátano" al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que se puede intercalar entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determina el valor de $p(2025)$.

Hay $2018$ cartas numeradas del $1$ al $2018$. Los números de las cartas están visibles en todo momento. Tito y Pepe juegan a un juego. Empezando por Tito, se van turnando para agarrar las cartas hasta que terminan. Entonces cada jugador suma los números de sus cartas y gana quien tenga una suma par. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y descríbela.