11 Demuestre que para cualquier entero $n$ se pueden encontrar enteros $a$ y $b$ tales que \[n=\left[ a\sqrt{2}\right]+\left[ b\sqrt{3}\right] \]

5 Halle todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que los números $A=n^2+2mn+3m^2+2$ , $B=2n^2+3mn+m^2+2$ , $C=3n^2+mn+2m^2+1$ tienen un divisor común mayor que $1$ .

1 El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$ . Los puntos $K, L, M$ son los simétricos del punto $P$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ . Demuestre que las rectas $AK, BL, CM$ se intersecan en un punto.

Sea $G$ un torneo tal que sus aristas están coloreadas de rojo o de azul. Demuestre que existe un vértice de $G$ , llámese $v$ , con la propiedad de que, para todo otro vértice $u$ , hay un camino dirigido monocromático de $v$ a $u$ . Nima Ahmadi

Un tablero $2N\times2N$ está cubierto por dominós no superpuestos de tamaño $1\times2$ . Una torre coja (que solo puede moverse una casilla a la vez, horizontal o verticalmente) ha visitado cada casilla una vez en su recorrido por el tablero. Llámese longitudinal a un movimiento de la torre si es un movimiento de una casilla de un dominó a otra casilla del mismo dominó. ¿Cuál es: el número máximo posible de movimientos longitudinales? ¿el número mínimo posible de movimientos longitudinales?

¿Es posible colocar $36$ números distintos en las casillas de una tabla $6 \times 6$ , de modo que en cada rectángulo $1\times 5$ (tanto vertical como horizontal) la suma de los números sea igual a $2022$ o $2023$ ?

18 Se da un triángulo $ABC$ . Halle todos los segmentos $XY$ que están dentro del triángulo tales que $XY$ y cinco de los segmentos $XA,XB, XC, YA,YB,YC$ dividan al triángulo $ABC$ en $5$ regiones de áreas iguales. Además, demuestre que todos los segmentos $XY$ tienen un punto común.

22 Considere un cuadrilátero con $\angle DAB=60^{\circ}$ , $\angle ABC=90^{\circ}$ y $\angle BCD=120^{\circ}$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $M$ . Si $MB=1$ y $MD=2$ , halle el área del cuadrilátero $ABCD$ .

20 Sea $ABC$ un triángulo y sean $a,b,c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Considere un triángulo $DEF$ con longitudes de lados $EF=\sqrt{au}$ , $FD=\sqrt{bu}$ , $DE=\sqrt{cu}$ . Demuestre que $\angle A >\angle B >\angle C$ implica $\angle A >\angle D >\angle E >\angle F >\angle C$ .

19 Sea $ABC$ un triángulo. Halle todos los triángulos $XYZ$ con vértices dentro del triángulo $ABC$ tales que $XY,YZ,ZX$ y seis segmentos no intersecantes de los siguientes $AX, AY, AZ, BX, BY, BZ, CX, CY, CZ$ dividan al triángulo $ABC$ en siete regiones de áreas iguales.