El conjunto $S$ es un subconjunto de $\{1, 2, \dots, 2025\}$ tal que no hay dos elementos de $S$ que difieran por $2$ o por $7$. ¿Cuál es el mayor número de elementos que puede tener $S$?

Un número entero positivo está escrito en un pizarrón. Carmela puede realizar la siguiente operación tantas veces como quiera: reemplazar el número actual $x$ por otro entero positivo $y$, siempre que $|x^2 - y^2|$ sea un cuadrado perfecto. Por ejemplo, si el número en el pizarrón es $17$, Carmela puede reemplazarlo por $15$, porque $|17^2 - 15^2| = 8^2$, y luego reemplazarlo por $9$, porque $|15^2 - 9^2| = 12^2$. Si el número en el pizarrón es inicialmente $3$, determina todos los enteros que Carmela puede escribir en el pizarrón después de un número finito de operaciones.

Sea $d$ un entero positivo. Define la sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ tal que \[\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_{n+1} = n\left\lfloor\frac{a_n}{n}\right\rfloor + d, \quad n \ge 1.\end{cases}\] Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_M, a_{M+1}, a_{M+2}, \dots$ es una sucesión aritmética.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Se eligen puntos $X$ y $Y$ en las rectas $BI$ y $CI$ respectivamente, tales que $DXIY$ es un paralelogramo. Se eligen puntos $E$ y $F$ en el lado $BC$ tales que $AX$ y $AY$ son las bisectrices de los ángulos $\angle BAE$ y $\angle CAF$ respectivamente. Sea $\omega$ la circunferencia tangente al segmento $EF$, a la extensión de $AE$ más allá de $E$, y a la extensión de $AF$ más allá de $F$. Demuestra que $\omega$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Encuentra la mayor constante real $k$ para la cual la desigualdad \[(a^2 + 3)(b^2 + 3)(c^2 + 3)(d^2 + 3) + k(a - 1)(b - 1)(c - 1)(d - 1) \ge 0\] se cumple para todos los números reales $a$ , $b$ , $c$ y $d$ .

Un número entero $n \geq 2$ se llama feirense si es posible escribir en una hoja de papel algunos enteros de manera que todo divisor positivo de $n$ menor que $n$ sea la diferencia entre dos números de la hoja, y ningún otro número positivo lo sea. Encuentra todos los números feirenses.

Una hormiga está en el plano cartesiano. En un solo movimiento, la hormiga elige un entero positivo $k$, y luego viaja $k$ unidades verticalmente (arriba o abajo) y $2k$ unidades horizontalmente (izquierda o derecha); o bien $k$ unidades horizontalmente (izquierda o derecha) y $2k$ unidades verticalmente (arriba o abajo). Así, para cualquier $k$, la hormiga puede elegir ir a uno de ocho puntos posibles. Demuestra que, para cualesquiera enteros $a$ y $b$, la hormiga puede viajar de $(0, 0)$ a $(a, b)$ usando a lo más $3$ movimientos.

En el triángulo acutángulo \(ABC\) con circuncentro \(O\) y ortocentro \(H\), sea \(D\) un punto arbitrario en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tal que \(D\) no esté sobre la recta \(OB\) y que la recta \(OD\) no sea paralela a la recta \(BC\). Sea \(E\) el punto en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tal que \(DE\) es perpendicular a \(BC\), y sea \(F\) el punto en la recta \(AC\) tal que \(FA = FE\). Sean \(P\) y \(R\) los puntos en la circunferencia circunscrita del triángulo \(ABC\) tales que \(PE\) es un diámetro, y \(BH\) y \(DR\) son paralelas. Sea \(M\) el punto medio de \(DH\). (a) Demuestra que \(AP\) y \(BR\) son perpendiculares. (b) Demuestra que \(FM\) y \(BM\) son perpendiculares.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todos $m, n \in \mathbb{N}$, \[m^2f(m) + n^2f(n) + 3mn(m + n)\] es un cubo perfecto.

3 Un profesor de ciencias de la computación les ha pedido a sus estudiantes que escriban un programa que, dada una lista de $n$ números $a_1, a_2, ..., a_n$, calcule la lista $b_1, b_2, ..., b_n$ donde $b_k$ es el número de veces que el número $a_k$ aparece en la lista. Así, por ejemplo, para la lista $1,2,3,1$, el programa devuelve la lista $2,1,1,2$. Luego, el profesor le pidió a Alexandre que ejecutara el programa para una lista de $2025$ números. Después le pidió que aplicara el programa a la lista resultante, y así sucesivamente, hasta que aparezca un número mayor o igual que $k$ en la lista. Encuentra el mayor valor de $k$ para el cual, sea cual sea la lista inicial de $2025$ enteros positivos $a_1, a_2, ..., a_{2025}$, sea posible que Alexandre haga lo que el profesor le pidió.