5 Un círculo que pasa por el punto medio $M$ del lado $BC$ y por el vértice $A$ del triángulo $ABC$ interseca a los segmentos $AB$ y $AC$ por segunda vez en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que si $\angle BAC=60^{\circ}$ , entonces $AP+AQ+PQ<AB+AC+\frac{1}{2} BC$ .

Sean $a_1,\ldots , a_{p-2}{}$ residuos no nulos módulo un primo impar $p{}$ . Para cada $d\mid p - 1$ hay al menos $\lfloor(p - 2)/d\rfloor$ índices $i{}$ para los cuales $p{}$ no divide a $a_i^d-1$ . Demuestre que el producto de algunos de $a_1,\ldots , a_{p-2}$ da el residuo dos módulo $p{}$ .

Demuestre que $\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_{119}}$ es un entero, donde \[a_n=2-\frac{1}{n^2+\sqrt{n^4+1/4}}.\]

Para cada entero positivo $k$ , sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Muestre que existe un entero $k$ , sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$

Un país plano tiene un número impar de ciudades separadas por distancias dos a dos distintas. Algunas de estas ciudades están conectadas por vuelos directos de dos direcciones. Cada ciudad está conectada directamente con exactamente otras dos ciudades, y estas últimas están ubicadas a la mayor distancia de ella. Demuestre que, usando estos vuelos, se puede ir de cualquier ciudad a cualquier otra ciudad

Halle todas las funciones $f$ del intervalo $(1,\infty)$ en $(1,\infty)$ con la siguiente propiedad: si $x,y\in(1,\infty)$ y $x^2\le y\le x^3,$ entonces $(f(x))^2\le f(y) \le (f(x))^3.$ Kent

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables en el interior de este cuadrilátero tales que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$ . Demuestre que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera pasan todas por un punto fijo , o bien son todas paralelas.

¿Existen enteros $a$ y $b$ tales que $a^5b+3$ y $ab^5+3$ sean ambos cubos perfectos de enteros?

Halle todos los $ x, y, z\in\mathbb{Z}^+ $ tales que \[ (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z \]

Una familia de conjuntos $F$ se llama perfecta si se cumple la siguiente condición: para toda terna de conjuntos $X_1, X_2, X_3\in F$ , al menos uno de los conjuntos $$ (X_1\setminus X_2)\cap X_3,$$ $$(X_2\setminus X_1)\cap X_3$$ es vacío. Muestre que si $F$ es una familia perfecta formada por algunos subconjuntos de un conjunto finito dado $U$ , entonces $\left\lvert F\right\rvert\le\left\lvert U\right\rvert+1$ . Propuesto por Michał Pilipczuk