4 Para $n(n\geq3)$ enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ . Coloque los números sobre una circunferencia. En cada operación, calcule la diferencia entre dos números adyacentes y tome su valor absoluto. Coloque los $n$ números obtenidos en otra circunferencia (sin cambiar su orden). Halle todos los $n$ tales que, sin importar cómo se den $a_1,a_2,\cdots,a_n$ , todos los números de la circunferencia sean iguales después de un número finito de operaciones.

1 Defina la sucesión $(a_n):a_1=\text{e},a_2=\text{e}^3,\text{e}^{1-k}a_n^{k+2}=a_{n+1}a_{n-1}^{2k}$ para todo $n\geq2$ , donde $k$ es un número real positivo. Halle $\prod_{i=1}^{2017}a_i$ .

2 Grado 10

3 Grado 10

4 Sea $n\geq3$ un entero positivo. $a_1,a_2,\cdots,a_n$ son $n$ enteros positivos coprimos dos a dos, que satisfacen que existen $k_1,k_2,\cdots,k_n\in\{-1,1\}, \sum_{i=1}^{n}k_ia_i=0$ . ¿Existen enteros positivos $b_1,b_2,\cdots,b_n$ tales que, para cualquier $k\in\mathbb{Z}_+$ , $b_1+ka_1,b_2+ka_2,\cdots,b_n+ka_n$ sean coprimos dos a dos?

2 Demuestre que existen infinitos enteros \(n\) que satisfacen \(2017^2 | 1^n + 2^n + ... + 2017^n\) .

5 El triángulo \(ABC\) tiene \(AB > AC\) y \(\angle A = 60^\circ \) . Sea \(M\) el punto medio de \(BC\) , \(N\) el punto del segmento \(AB\) tal que \(\angle BNM = 30^\circ\) . Sean \(D,E\) puntos sobre \(AB, AC\) respectivamente. Sean \(F, G, H\) los puntos medios de \(BE, CD, DE\) respectivamente. Sea \(O\) el circuncentro del triángulo \(FGH\) . Demuestre que \(O\) se encuentra sobre la recta \(MN\) .

8 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n,$ tales que $2018 | \left( 1+2^n+3^n+4^n \right).$

6 Halle todos los enteros \(n\) tales que existe un pentágono cóncavo que puede ser diseccionado en \(n\) triángulos congruentes.

4 Sea \(Q\) un conjunto de permutaciones de \(1,2,...,100\) tal que para todo \(1\leq a,b \leq 100\) , \(a\) puede encontrarse a la izquierda de \(b\) y adyacente a \(b\) en a lo sumo una permutación de \(Q\) . Halle el mayor número posible de elementos de \(Q\) .