5 Si \(n\in\mathbb N\), \(n\ge2\), demuestra que \[\dfrac{1}{\cos^2\frac{\pi}{2n}}+\dfrac{1}{\cos^2\frac{2\pi}{2n}}+\dots+\dfrac{1}{\cos^2\frac{(n-1)\pi}{2n}}=\dfrac{2}{3}(n^2-1)\]

4 Dado un paralelogramo $ABCD$ y un punto $M_0$ en el plano. Usando la rotación $$R_{A}^{90^\circ}(M_0)=M_1,\quad R_{B}^{90^\circ}(M_1)=M_2,\quad R_{C}^{90^\circ}(M_2)=M_3,\quad R_{D}^{90^\circ}(M_3)=M_4,\ldots$$ y así sucesivamente, determina la sucesión de puntos $\{M_1,M_2,\ldots\}$ . Demuestra que $ABCD$ es un cuadrado si $M_0=M_{2008}$ .

3 Dado un $n$ -ágono convexo en el plano coordenado cuyos vértices están contenidos en un círculo con coordenadas enteras, demuestra que las coordenadas del centro del círculo que contiene al $n$ -ágono convexo de área mínima que es semejante a este polígono y cuyos vértices también tienen coordenadas enteras no son enteras.

1 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB=DE$, $BC=EF$, $CD=FA$. Sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de los segmentos $AC$, $BD$, $CE$, $DF$, $EA$, $FB$. Demuestra que los segmentos $A_1D_1$, $B_1E_1$, $C_1F_1$ son concurrentes.

6 Una caja fuerte tiene botones etiquetados con los dígitos $0,1,2,\ldots,9$. El código para abrir la caja fuerte consta de $3$ dígitos. ¿Cuál es el número mínimo de pulsaciones de botón necesarias para garantizar que la caja fuerte se abra?

5 Demuestra que el radio de la esfera que contiene al tetraedro es $R$, y el radio de la esfera contenida en él es $r$, de modo que la longitud de la altura mínima no excede $\dfrac{4R}{3}$, y la longitud de la altura máxima no es menor que $4r$.

4 Encuentra todos los pares $(a,b)$ tales que los últimos 1995 dígitos de su notación decimal son números de la forma $2^k$ - números que solo pueden escribirse como $a$ y $b$. Donde $a$ es un dígito par y $b$ es un dígito impar.

Para el triángulo $ABC$, demuestra que \[(\pi-\alpha)a(\pi-\beta)b(\pi-\gamma)c\ge\left(\dfrac{4\pi\sqrt{3}}{9}\right)^3pS, \] donde $a$, $b$, $c$ son los lados; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ son los ángulos; $p$ es el semiperímetro; $S$ es el área. ¿Cuándo se da la igualdad?

2 Para cualquier número $m$ de cualquier partición del conjunto $\{1,2,\ldots,1995\}$ en dos clases, donde $m\ge n$, encuentra el mayor valor del número $n$ tal que siempre existan los números $a_1,\ldots,a_m,a$ que satisfagan la condición $$a_1+a_2+\dots+a_m=a.$$

6 Demuestra que existe un conjunto infinito de polinomios con coeficientes enteros que no pueden descomponerse en un producto de polinomios con coeficientes enteros, tales que los números $1,2,3,4,5$ tomen el mismo valor de $5$.