Se da un tablero de $7\times 7$ . Inicialmente, Bluey coloca una moneda azul en cada una de algunas de las casillas unitarias del tablero. Luego, Whitney elige una fila y una columna del tablero y retira las monedas azules de esa fila y de esa columna. Después, Whitney coloca una moneda blanca en cada una de las casillas unitarias vacías de todo el tablero. ¿Cuál es el menor número de monedas que Bluey debe colocar para que, sin importar lo que haga Whitney, al final el tablero contenga más monedas azules que blancas?

Encuentre todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la suma de las cifras del número $79^m + 10^n + 13$ sea un número primo.

Sea $ABCD$ un cuadrado y sea $O$ el punto de intersección de sus diagonales. Sea $X$ un punto arbitrario del lado $BC$ . Sea $Y$ un punto del lado opuesto del punto $X$ con respecto a la recta $CD$ tal que $\triangle AXY$ sea un triángulo isósceles con ángulo recto en el vértice $X$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $AY$ y $BD$ . Sea $T$ el punto de intersección de las rectas $XO$ y $YD$ . Demuestre que $MX = MT$ .

Algunas personas participaron en un torneo de ajedrez. Cada persona jugó exactamente una vez contra cada una de las demás, y ninguno de los juegos terminó en empate. En cada juego, el ganador recibió un punto, mientras que el perdedor recibió cero puntos. ¿Es posible que todos los jugadores excepto uno tuvieran el mismo número de puntos si el torneo incluyó: (a) $4$ jugadores? (b) $5$ jugadores?

Sean $a,b,c \in \mathbb{R}$ tales que \[ \frac{a-b}{c} + \frac{b}{a} = 1. \] Encuentre el valor numérico de \[ \frac{a^2 - b^2}{c^2} + \frac{b^2}{a^2}. \]

Ben elige cuatro dígitos distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . De entre todos los números de cuatro dígitos que pueden formarse usando cada uno de los dígitos elegidos exactamente una vez, escribe el segundo mayor y el segundo menor de tales números. Se sabe que la diferencia de estos dos números es divisible por $43$ . Encuentre todas las combinaciones posibles de los cuatro dígitos que Ben podría haber elegido.

Beni tiene palitos de longitudes $1,2,3,…,n$ para algún número natural $n$ . Quiere formar un triángulo equilátero usando todos los palitos para construir los lados del triángulo. Cada lado debe estar formado por un número distinto de palitos. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual esto es posible?

Ben tiene $10$ cajas etiquetadas con los números $1, 2, \dots, 10$ . La caja $1$ contiene $1$ galleta, la caja $2$ contiene $2$ galletas, $\dots$ , la caja $10$ contiene $10$ galletas. Entre estas cajas, exactamente cinco contienen solo galletas de fresa, mientras que las otras cinco contienen solo galletas de manzana. Ben no puede distinguir las galletas por su apariencia. ¿Cuál es el número mínimo de galletas que debe tomar para estar seguro de haber tomado al menos $10$ galletas de fresa?

Sea $ABCD$ un cuadrado, y sea $X$ un punto del lado $AD$ tal que $AX = 2XD$ . El punto $Y$ es tal que $\angle AYX = 90^\circ$ y $BY = BC$ . Demuestre que la recta $CY$ biseca el lado $AD$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Suponga que $O$ está en el segmento $AH$ . Si $\angle HCO = 24^{\circ}$ , encuentre todos los ángulos del triángulo $\triangle ABC$ .